Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm GTNN của biểu thức P = 4( + + ) + 15abc

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Hình giải tích phẳng

Câu hỏi số 17063:

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm GTNN của biểu thức

P = 4( $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ ) + 15abc

A. GTNN = 6

B. GTNN = 7

C. GTNN = 8

D. GTNN = 9

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:17063

Giải chi tiết

Ta có:

a² ≥ a² – ( b – c)² = (a – b + c)(a + b – c) (1)

b² ≥ b² – ( c – a)² = (b – c + a)(b + c – a) (2)

c² ≥ c² – ( a – b)² = (c – a + b)(c + a – b) (3)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1),(2),(3) đều dương.

Nhân vế với vế (1),(2),(3) ta được:

abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) (*)

Từ a + b + c = 2 nên (*) tương đương với abc ≥ (2 - 2a)(2 -2b)(2 - 2c)

<=> 8 - 8(a + b + c) + 8 (ab + bc + ca) - 9abc $\leq$ 0

<=> 8 + 9abc - 8(ab + bc + ca) ≥ -8 (**)

Ta có : $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ = (a + b + c)³ - 3(a + b + c) (ab + bc + ca) + 3abc

= 8 - 6(ab + bc + ca) + 3abc

Từ đó 4( $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ ) + 15abc = 7abc - 24(ab + bc + ca) + 32 ≥ 3.(-8) + 32 = 8.

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c= $\frac{2}{3}$ .

Do đó GTNN của P = 8 khi a=b=c= $\frac{2}{3}$ .

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.