Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| = \sqrt 2 \) và \({z^2}\) là số thuần

Câu hỏi số 177498:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| = \sqrt 2 \) và \({z^2}\) là số thuần ảo?

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:177498

Phương pháp giải

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow {z^2}\)

\({z^2}\) là số thuần ảo nên \({\mathop{\rm Re}\nolimits} z = 0.\)

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in R} \right) \Rightarrow {z^2} = \left( {{a^2} - {b^2}} \right) + 2abi\).

Ta có \({z^2}\) là số thuần ảo nên \(\left\{ \matrix{ {a^2} - {b^2} = 0 \hfill \cr ab \ne 0 \hfill \cr} \right.\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(\left| {z - i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 2\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = {b^2} \hfill \cr {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 2 \hfill \cr ab \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = {b^2} \hfill \cr 2{b^2} - 2b - 1 = 0 \hfill \cr ab \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ b = {{1 + \sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr b = {{1 - \sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr {a^2} = {b^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ b = {{1 + \sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr a = \pm {{1 + \sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ b = {{1 - \sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr a = \pm {{1 - \sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

Vậy có bốn điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đề bài.

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.