Cho hàm số \(y = {x^3} + 2m{x^2} + 3\left( {m - 1} \right)x + 2\) (C). Tìm m để đường thẳng d: \(y = - x

Câu hỏi số 190653:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = {x^3} + 2m{x^2} + 3\left( {m - 1} \right)x + 2\) (C). Tìm m để đường thẳng d: \(y = - x + 2\) cắt (C) tại A(0;2) ; B; C sao cho diện tích tam giác OBC là \(2\sqrt 6 \).

A. \(m = \left\{ { - 1;\,4} \right\}\)

B. \(m = \left\{ { - 2;\,3} \right\}\)

C. \(m = \left\{ { - 2;\,4} \right\}\)

D. \(m = \left\{ { - 1;\,3} \right\}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:190653

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

+) Sau đó áp dụng hệ thức Vi-ét và điều kiện bài cho để tìm \(m.\)

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} + 2m{x^2} + 3\left( {m - 1} \right)x + 2 = - x + 2\,\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + \left( {3m - 2} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + 3m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 3m - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) pt (*) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) pt (1) có hai nghiệm khác 0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\g\left( 0 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 > 0\\3m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\\m > 2\end{array} \right.\).

Gọi \({x_1};\,{x_2}\) là 2 nghiệm của pt (1), khi đó \(B\left( {{x_1}; - {x_1} + 2} \right)\) và \(C\left( {{x_2}; - {x_2} + 2} \right)\).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}{x_2} = 3m - 2\end{array} \right.\).

Khi đó diện tích của tam giác OBC là: \({S_{OBC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {O;BC} \right).BC\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\left| { - 0 + 2 - 0} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }}.\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} = 2\sqrt 6 \\ \Leftrightarrow \sqrt {2{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} = 4\sqrt 3 \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 48\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4\left( {3m - 2} \right) = 24\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\left( {tm} \right)\\m = 4\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn A.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.