Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + m\) cắt trục

Câu hỏi số 190656:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + m\) cắt trục hoành tại đúng 1 điểm.

A. \(m < - \dfrac{4}{{27}}\)

B. \(m < - \dfrac{4}{{27}}\) hoặc \(m > 0\)

C. \( - \dfrac{4}{{27}} < m < 0\)

D. \(m > 0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:190656

Phương pháp giải

Số điểm chung của đồ thị hàm số với trục hoành là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

Giải chi tiết

Để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + m\) cắt trục hoành tại đúng 1 điểm thì phương trình \({x^3} + {x^2} + m = 0\) có nghiệm duy nhất.

\({x^3} + {x^2} + m = 0 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} = - m \Rightarrow \) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + {x^2}\) và đường thẳng \(y = - m\) song song với trục hoành.

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + {x^2}\) ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right.\)

BBT :

Phương trình có 1 nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m > \frac{4}{{27}}\\ - m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < \frac{{ - 4}}{{27}}\\m > 0\end{array} \right.\) .

Chọn đáp án B.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.