Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + \left( {m + 2} \right)x - m}}{{x + 1}}\,\,\,\,\left( {{C_m}} \right)\), (d): \(y

Câu hỏi số 190662:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + \left( {m + 2} \right)x - m}}{{x + 1}}\,\,\,\,\left( {{C_m}} \right)\), (d): \(y = - x - 4\). Nếu (d) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại hai điểm M và N đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\) thì giá trị của m là:

A. \(m = 1\)

B. \(m = 2\)

C. \(m = - 2\)

D. \(m = - 1\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Lập phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số. Tìm điều kiện của \(m\) để (*) có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi-ét để làm bài toán.

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và (d) là:

\(\dfrac{{{x^2} + \left( {m + 2} \right)x - m}}{{x + 1}} = - x - 4 \Leftrightarrow g\left( x \right) = 2{x^2} + \left( {m + 7} \right)x - m + 4 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Đường thẳng (d) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\)tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 7} \right)^2} + 8\left( {m - 4} \right) > 0\\2 - \left( {m + 7} \right) - m + 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 22m + 17 > 0\\m \ne - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > - 11 + 2\sqrt {26} \\m < - 11 - 2\sqrt {26} \end{array} \right.\\m \ne - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm của pt (*), khi đó ta có: \(M\left( {{x_1}; - {x_1} - 4} \right)\) và \(N\left( {{x_2}; - {x_2} - 4} \right)\).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{{m + 7}}{2}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{4 - m}}{2}\end{array} \right.\).

Gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow I\left( {\dfrac{{ - m - 7}}{4};\dfrac{{m - 9}}{4}} \right)\).

Hai giao điểm M và N của (d) và \(\left( {{C_m}} \right)\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\) \( \Leftrightarrow \) I thuộc đường thẳng \(y = x\) ..

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:190662

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.