Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), \(SA = AB = a,AD = 3a.\) Gọi M là trung điểm của BC. Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (SDM)?

Câu 193118: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), \(SA = AB = a,AD = 3a.\) Gọi M là trung điểm của BC. Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (SDM)?

A. \(\dfrac{5}{7}\)

B. \(\dfrac{6}{7}\)

C. \(\dfrac{3}{7}\)

D. \(\dfrac{1}{7}\)

Câu hỏi : 193118

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Trong (ABCD) kẻ \(AF \bot MD\).

+) Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng cần tìm là góc SFA.

+) Tính các cạnh AF, SF và tính \(\cos \widehat {SFA}\).

Đáp án : B
(51) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Trong (ABCD) kẻ \(AF \bot MD\). Lại có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot MD\)

\( \Rightarrow MD \bot \left( {SAF} \right) \Rightarrow MD \bot SF\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {SDM} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MD\\SF \bot MD\\AF \bot MD\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SDM} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SF;AF} \right)} = \widehat {SFA}\)

Xét tam giác vuông CMD có: \(MD = \sqrt {C{D^2} + M{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{3}{2}a} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}\)

Ta có: \({S_{\Delta AMD}} = \dfrac{1}{2}.3a.a = \dfrac{3}{2}{a^2} = \dfrac{1}{2}AF.MD \Rightarrow AF = \dfrac{{2{S_{\Delta ADM}}}}{{MD}} = \dfrac{{3{a^2}}}{{\dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}}} = \dfrac{{6a}}{{\sqrt {13} }}\)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AF\). Suy ra tam giác SAF vuông tại A

\(\begin{array}{l} \Rightarrow SF = \sqrt {A{F^2} + S{A^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{36}}{{13}}{a^2}} = \dfrac{{7a}}{{\sqrt {13} }}\\ \Rightarrow cos\widehat {SFA} = \dfrac{{AF}}{{SF}} = \dfrac{{6a}}{{\sqrt {13} }}\dfrac{{\sqrt {13} }}{{7a}} = \dfrac{6}{7}\end{array}\)

Chọn B.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.