Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung

Câu hỏi số 195080:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\), \(H\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM\), \(SH \bot \left( {ABCD} \right);SH = 2a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(DM\) và \(SC\) là:

A. \(\dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:195080

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta ADM = \Delta DCN\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {DCN}\)

Mà \(\widehat {DCN} + \widehat {DNC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {ADM} + \widehat {DNC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DHN} = {90^0} \Rightarrow DM \bot CN\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}DM \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\DM \bot CN\end{array} \right\} \Rightarrow DM \bot \left( {SHC} \right)\).

Trong (SHC) kẻ \(HK \bot SC\) ta có: \(DM \bot (SHC) \supset HK \Rightarrow DM \bot HK\)

\( \Rightarrow \) HK là đường vuông góc chung của DM và SC\( \Rightarrow d\left( {DM;SC} \right) = HK\)

Xét tam giác vuông CDN có: \(CN = \sqrt {C{D^2} + D{N^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(C{D^2} = CH.CN \Rightarrow CH = \dfrac{{C{D^2}}}{{CN}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HC \Rightarrow \Delta SHC\) vuông tại H

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{C^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{5}{{4{a^2}}} = \dfrac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.