Trong tất cả các số phức z thỏa mãn = √3, hãy tìm số phức có mô đun nhỏ nhất và số phức có mô đun lớn nhất

Câu hỏi số 2021:

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn $\left | \frac{(1+i)z}{1-i}+2\right |$ = √3, hãy tìm số phức có mô đun nhỏ nhất và số phức có mô đun lớn nhất

A. |z| lớn nhất khi z = (2 +√3)i với |z| = $2+\sqrt{3}$ , và |z| nhỏ nhất khi z = (2 -√3)i với |z| = $2-\sqrt{3}$ ,

B. |z| lớn nhất khi z = (2 +√3)i với |z| = $2-\sqrt{3}$ , và |z| nhỏ nhất khi z = (2 -√3)i với |z| = $2+\sqrt{3}$ ,

C. |z| lớn nhất khi z = (2 -√3)i với |z| = $2+\sqrt{3}$ , và |z| nhỏ nhất khi z = (2 +√3)i với |z| = $2-\sqrt{3}$ ,

D. |z| lớn nhất khi z = (2 +√3)i với |z| =- $2+\sqrt{3}$ , và |z| nhỏ nhất khi z = (2 -√3)i với |z| = $2-\sqrt{3}$ ,

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2021

Giải chi tiết

Đặt z = x + yi (x , y ∈ $\mathbb{R}$ ). Khi đó

$\left | \frac{(1+i)z}{1-i}+2\right |$ = √3 ⇔ |i(x +yi) + 2| = √3

⇔ |(2 - y) + xi| = √3 ⇔ (2 – y)² + x² = 3

⇔ $\left ( \frac{x}{\sqrt{3}} \right )^{2}$ + $\left ( \frac{y-2}{\sqrt{3}} \right )^{2}$ = 1

Đặt $\frac{x}{\sqrt{3}}$ = sin α, $\frac{y-2}{\sqrt{3}}$ = cos α. Khi đó x = √3sin α, y = √3cos α + 2 và

|z| = $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ = $\sqrt{3sin^{2}\alpha +(\sqrt{3}cos\alpha +2)^{2}}$ = $\sqrt{7+4\sqrt{3}cos\alpha }$ Ta có

* |z| ≤ $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ = 2 + √3 , dấu đẳng thức xảy ra khi

cosα = 1 ⇔ $\left\{\begin{matrix} x=0\\y=2+\sqrt{3} \end{matrix}\right.$ hay z = (2 + √3)i

* |z| ≤ $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ = 2 - √3 , dấu đẳng thức xảy ra khi

cosα = -1 ⇔ $\left\{\begin{matrix} x=0\\y=2-\sqrt{3} \end{matrix}\right.$ hay z = (2 - √3)i

Vậy |z| lớn nhất khi z = (2 + √3)i với |z| = $2+\sqrt{3}$ ,

và |z| nhỏ nhất khi z = (2 - √3)i với |z| = $2-\sqrt{3}$ ,

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.