Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng

Câu hỏi số 202472:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng \({60^0}\), tam giác ABC vuông tại C và \(\widehat {BAC} = {60^0}\). Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Thể tích khối tứ diện A’.ABC là:

A. \(\dfrac{{3{a^3}}}{{208}}\)

B. \(\dfrac{{9{a^3}}}{{208}}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{{108}}\)

D. \(\dfrac{{9{a^3}}}{{108}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:202472

Giải chi tiết

Gọi D là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC\( \Rightarrow B'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BG\) là hình chiếu vuông góc của BB’ trên (ABC)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {BB';\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BB';BG} \right)} = \widehat {B'BG} = {60^0}\)

\(B'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow B'G \bot GB \Rightarrow \Delta BB'G\) vuông tại G

\( \Rightarrow B'G = BB'. \sin 60 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(BG = \sqrt {BB{'^2} - B'{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = \dfrac{a}{2} \Rightarrow BD = \dfrac{3}{2}. BG = \dfrac{{3a}}{4}. \)

Xét tam giác vuông ABC có:

\(BC = AB. \sin 60 = AB\dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\,\,\,AC = AB. cos60 = \dfrac{{AB}}{2} \Rightarrow CD = \dfrac{{AB}}{4}\)

Xét tam giác vuông BCD có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} + C{D^2} = B{D^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{3A{B^2}}}{4} + \dfrac{{A{B^2}}}{{16}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{16}} \Rightarrow \dfrac{{13A{B^2}}}{{16}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{16}} \Rightarrow AB = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{13}}\end{array}\)

\( \Rightarrow BC = AB\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{13}}. \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt {39} }}{{26}};AC = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}}\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}BC. AC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{3a\sqrt {39} }}{{26}}. \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}} = \dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{{104}}\)

Vậy \({V_{A'ABC}} = \dfrac{1}{3}B'G. {S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}. \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}. \dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{{104}} = \dfrac{{9{a^3}}}{{208}}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.