Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng
Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng \({60^0}\), tam giác ABC vuông tại C và \(\widehat {BAC} = {60^0}\). Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Thể tích khối tứ diện A’.ABC là:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi D là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC\( \Rightarrow B'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BG\) là hình chiếu vuông góc của BB’ trên (ABC)
\( \Rightarrow \widehat {\left( {BB';\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BB';BG} \right)} = \widehat {B'BG} = {60^0}\)
\(B'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow B'G \bot GB \Rightarrow \Delta BB'G\) vuông tại G
\( \Rightarrow B'G = BB'. \sin 60 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\(BG = \sqrt {BB{'^2} - B'{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = \dfrac{a}{2} \Rightarrow BD = \dfrac{3}{2}. BG = \dfrac{{3a}}{4}. \)
Xét tam giác vuông ABC có:
\(BC = AB. \sin 60 = AB\dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\,\,\,AC = AB. cos60 = \dfrac{{AB}}{2} \Rightarrow CD = \dfrac{{AB}}{4}\)
Xét tam giác vuông BCD có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} + C{D^2} = B{D^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{3A{B^2}}}{4} + \dfrac{{A{B^2}}}{{16}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{16}} \Rightarrow \dfrac{{13A{B^2}}}{{16}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{16}} \Rightarrow AB = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{13}}\end{array}\)
\( \Rightarrow BC = AB\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{13}}. \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt {39} }}{{26}};AC = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}}\)
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}BC. AC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{3a\sqrt {39} }}{{26}}. \dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{26}} = \dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{{104}}\)
Vậy \({V_{A'ABC}} = \dfrac{1}{3}B'G. {S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}. \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}. \dfrac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{{104}} = \dfrac{{9{a^3}}}{{208}}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
