Cho hình lăng trụ \(ABC. A'B'C'\), đáy ABC có \(AC = a\sqrt 3 ,BC = 3a,\widehat {ACB} = {30^0}\). Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc \({60^0}\) và mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh BC sao cho \(HC = 3BH\) và mặt phẳng \(\left( {A'AH} \right)\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối lăng trụ \(ABC. A'B'C'\) là:

Câu 202477: Cho hình lăng trụ \(ABC. A'B'C'\), đáy ABC có \(AC = a\sqrt 3 ,BC = 3a,\widehat {ACB} = {30^0}\). Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc \({60^0}\) và mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh BC sao cho \(HC = 3BH\) và mặt phẳng \(\left( {A'AH} \right)\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối lăng trụ \(ABC. A'B'C'\) là:

A. \(\dfrac{{9{a^3}\sqrt {21} }}{{16}}\)

B. \(\dfrac{{9{a^3}\sqrt 7 }}{{16}}\)

C. \(\dfrac{{9{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)

D. \(\dfrac{{3{a^3}\sqrt {21} }}{{16}}\)

Câu hỏi : 202477

Quảng cáo

Đáp án : A
(6) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

\(\left. \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {A'AH} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {A'BC} \right) \cap \left( {A'AH} \right) = A'H\end{array} \right\} \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow AH\) là hình chiếu vuông góc của AA’ trên (ABC)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {AA';\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AA';AH} \right)} = \widehat {A'AH} = {60^0}\)

Ta có: \(HC = \dfrac{3}{4}BC = \dfrac{3}{4}. 3a = \dfrac{{9a}}{4}\)

Xét tam giác AHC có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} = A{C^2} + H{C^2} - 2. AC. HC. \cos 30\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{a^2} + \dfrac{{81}}{{16}}{a^2} - 2. a\sqrt 3 . \dfrac{{9a}}{4}. \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{21}}{{16}}{a^2}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{4}\end{array}\)

Ta có: \(A'H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'H \bot AH \Rightarrow \Delta A'AH\) vuông tại H\( \Rightarrow A'H = AH. \tan 60 = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{4}. \sqrt 3 = \dfrac{{3a\sqrt 7 }}{4}\)

\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AC. BC. \sin 30 = \dfrac{1}{2}a\sqrt 3 . 3a. \dfrac{1}{2} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({V_{ABC. A'B'C'}} = A'H. {S_{ABC}} = \dfrac{{3a\sqrt 7 }}{4}. \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{9{a^3}\sqrt {21} }}{{16}}\)

Chọn A.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.