Cho \(A = {{2x} \over {x + 3\sqrt x + 2}} + {{5\sqrt x + 1} \over {x + 4\sqrt x + 3}} + {{\sqrt x + 10} \over

Câu hỏi số 205200:

Vận dụng cao

Cho \(A = {{2x} \over {x + 3\sqrt x + 2}} + {{5\sqrt x + 1} \over {x + 4\sqrt x + 3}} + {{\sqrt x + 10} \over {x + 5\sqrt x + 6}}\) với \(x \ge 0\)

Chứng minh rằng giá trị của \(A\) không phụ thuộc vào biến số \(x.\)

A. \(A=1\)

B. \(A=2\)

C. \(A=3\)

D. \(A=4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:205200

Phương pháp giải

Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức \(A.\) Chứng minh \(A = const.\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}A = \frac{{2x}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x + 10}}{{x + 5\sqrt x + 6}}\\ = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{2x\left( {\sqrt x + 3} \right) + \left( {5\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) + \left( {\sqrt x + 10} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x\sqrt x + 6x + 5x + 11\sqrt x + 2 + x + 11\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{2x\sqrt x + 12x + 22\sqrt x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x\sqrt x + 2x + 10x + 10\sqrt x + 12\sqrt x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x\left( {\sqrt x + 1} \right) + 10\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 12\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {2x + 10\sqrt x + 12} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = 2.\end{array}\)

Vậy giá trị của \(A\) không phụ thuộc vào biến \(x.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link