Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \({2^x} + {2^y} = 4\). Tìm giá trị lớn nhất \({P_{\max }}\) của

Câu hỏi số 209067:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \({2^x} + {2^y} = 4\). Tìm giá trị lớn nhất \({P_{\max }}\) của biểu thức \(P = (2{x^2} + y)(2{y^2} + x) + 9xy\).

A. 18

B. 12

C. 27

D. \(\dfrac{{27}}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:209067

Giải chi tiết

Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để xét nghiệm của phương trình.

Cách giải: Ta có pt \({2^x} - 2 = 2 - {2^y}\).

Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = {2^x} - 2\\g\left( y \right) = 2 - {2^y}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 > 0\,\,\forall x\\g'\left( y \right) = - {2^y}\ln y < 0\,\,\forall y\end{array} \right.\)

Suy ra hàm số f(x) luôn đồng biến với mọi x và hàm số g(y) luôn nghịch biến với mọi y.

\( \Rightarrow \)Phương trình có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.

Lại có:

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\g\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\)

\( \Rightarrow {P_{max}} \Leftrightarrow x = y = 1 \Rightarrow P = 18.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.