Tập nghiệm của phương trình \({z^4} - {z^3} + \dfrac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0\) trên tập số phức

Câu hỏi số 210105:

Vận dụng

Tập nghiệm của phương trình \({z^4} - {z^3} + \dfrac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0\) trên tập số phức là:

A. \(\left\{ {1 \pm i; - \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{i}{2}} \right\}\)

B. \(\left\{ { - 1 \pm i; - \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{i}{2}} \right\}\)

C. \(\left\{ {1 \pm i;\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{i}{2}} \right\}\)

D. \(\left\{ { - 1 \pm i;\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{i}{2}} \right\}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:210105

Giải chi tiết

\({z^4} - {z^3} + \dfrac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0\) (1)

+) Với \(z = 0\) thì \(1 = 0\) ( vô lí) \( \Rightarrow z = 0\) không là nghiệm của phương trình (1)

+) Với \(z \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \({z^2}\) , ta được:

\(\left( {{z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) - \left( {z - \dfrac{1}{z}} \right) + \dfrac{1}{2} = 0{\text{ }}(2)\)

Đặt \(t = z - \dfrac{1}{z}\) khi đó: \({t^2} = {z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2\)

Phương trình (2) có dạng: \({t^2} - t + \dfrac{5}{2} = 0\)(3)

Ta có: \(\Delta = 1 - 4.\dfrac{5}{2} = - 9 = 9{i^2} \Rightarrow t = \dfrac{{1 + 3i}}{2};t = \dfrac{{1 - 3i}}{2}\)

+) Nếu \(t = \dfrac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow z - \dfrac{1}{z} = \dfrac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0\)

Có \(\Delta = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = {(3 + i)^2} \Rightarrow {z_1} = 1 + i;{z_2} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{2}\)

+) Nếu \(t = \dfrac{{1 - 3i}}{2} \Leftrightarrow z - \dfrac{1}{z} = \dfrac{{1 - 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 - 3i)z - 2 = 0\)

Có \(\Delta = {(1 - 3i)^2} + 16 = 8 - 6i = {(3 - i)^2} \Rightarrow {z_3} = 1 - i;{z_4} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{i}{2}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ {1 + i;1 - i; - \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{2}; - \dfrac{1}{2} - \dfrac{i}{2}} \right\}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.