Tập nghiệm của phương trình \({z^4} - {z^3} + \dfrac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0\) trên tập số phức là:
Câu 210105: Tập nghiệm của phương trình \({z^4} - {z^3} + \dfrac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0\) trên tập số phức là:
A. \(\left\{ {1 \pm i; - \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{i}{2}} \right\}\)
B. \(\left\{ { - 1 \pm i; - \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{i}{2}} \right\}\)
C. \(\left\{ {1 \pm i;\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{i}{2}} \right\}\)
D. \(\left\{ { - 1 \pm i;\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{i}{2}} \right\}\)
Quảng cáo
-
Đáp án : A(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\({z^4} - {z^3} + \dfrac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0\) (1)
+) Với \(z = 0\) thì \(1 = 0\) ( vô lí) \( \Rightarrow z = 0\) không là nghiệm của phương trình (1)
+) Với \(z \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \({z^2}\) , ta được:
\(\left( {{z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) - \left( {z - \dfrac{1}{z}} \right) + \dfrac{1}{2} = 0{\text{ }}(2)\)
Đặt \(t = z - \dfrac{1}{z}\) khi đó: \({t^2} = {z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2\)
Phương trình (2) có dạng: \({t^2} - t + \dfrac{5}{2} = 0\)(3)
Ta có: \(\Delta = 1 - 4.\dfrac{5}{2} = - 9 = 9{i^2} \Rightarrow t = \dfrac{{1 + 3i}}{2};t = \dfrac{{1 - 3i}}{2}\)
+) Nếu \(t = \dfrac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow z - \dfrac{1}{z} = \dfrac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0\)
Có \(\Delta = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = {(3 + i)^2} \Rightarrow {z_1} = 1 + i;{z_2} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{2}\)
+) Nếu \(t = \dfrac{{1 - 3i}}{2} \Leftrightarrow z - \dfrac{1}{z} = \dfrac{{1 - 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 - 3i)z - 2 = 0\)
Có \(\Delta = {(1 - 3i)^2} + 16 = 8 - 6i = {(3 - i)^2} \Rightarrow {z_3} = 1 - i;{z_4} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{i}{2}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ {1 + i;1 - i; - \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{2}; - \dfrac{1}{2} - \dfrac{i}{2}} \right\}\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
