Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\) và một điểm \(M\) bên trong đường tròn đó. Qua \(M\) kẻ hai
Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\) và một điểm \(M\) bên trong đường tròn đó. Qua \(M\) kẻ hai dây cung \(AB\) và \(CD\) vuông góc với nhau (\(C\) thuộc cung nhỏ \(AB\)).
Vẽ đường kính \(DE.\) Biết rằng \(R = 1.\) Giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = MA + MB + MC + MD\) là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Lời giải chi tiết.
Do \(DE\) là đường kính của \(\left( {O;R} \right)\) nên \(\widehat {DCE} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó \(CD \bot CE.\) Mặt khác theo giả thiết ta có \(CD \bot AB.\)
Do đó \(AB//CE.\) Vậy tứ giác \(ABEC\) là hình thang \(\left( 1 \right).\)
Mặt khác các dây \(CE,AB\) là hai dây song song của \(\left( O \right)\) chắn hai cung \(AC\) và \(BE\) nên \(sdAE=sdBC\) suy ra \(AE=BC\)
Mặt khác \(\widehat {DAE} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = \left( {M{A^2} + M{D^2}} \right) + \left( {M{B^2} + M{C^2}} \right) = A{D^2} + B{C^2} = D{E^2} = 4{R^2} = 4.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(M{A^2},M{B^2}\) ta có
\(M{A^2} + M{B^2} \geqslant 2MA.MB \Rightarrow 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 2M{A^2} + 2M{B^2} \geqslant M{A^2} + M{B^2} + 2MA.MB = {\left( {MA + MB} \right)^2}.\)
Tương tự
\(2\left( {M{C^2} + M{D^2}} \right) \geqslant {\left( {MC + MD} \right)^2}.\)
Bằng cách tương tự trên ta chứng minh được
\(2\left[ {{{\left( {MA + MB} \right)}^2} + {{\left( {MC + MD} \right)}^2}} \right] \geqslant {\left( {MA + MB + MC + MD} \right)^2}.\)
Từ đó ta suy ra \(4\left( {M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}} \right) \geqslant {\left( {MA + MB + MC + MD} \right)^2}.\) Vì vậy
\({\left( {MA + MB + MC + MD} \right)^2} \leqslant 4.4 = {4^2} \Rightarrow MA + MB + MC + MD \leqslant 4.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(MA = MB = MC = MD.\) Khi đó \(M \equiv O.\)
Chọn đáp án D.
Đáp án cần chọn là: D
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
