Cho tích phân \(I = \int\limits_{{\pi \over 4}}^{{\pi \over 2}} {{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)} \over

Câu hỏi số 211339:

Vận dụng cao

Cho tích phân \(I = \int\limits_{{\pi \over 4}}^{{\pi \over 2}} {{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)} \over {{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x} = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - {\pi \over 4}\), tổng m + n

A. bằng 12

B. bằng 10

C. bằng 18

D. bằng 16

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:211339

Giải chi tiết

Phương pháp:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân có hàm logarit và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.

- Đồng nhất thức.

Cách giải.

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = \ln \left( {3\sin x + \cos x} \right) \hfill \cr dv = {{dx} \over {{{\sin }^2}x}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ du = {{3\cos x - \sin x} \over {3\sin x + \cos x}}\,\,dx \hfill \cr v = - \cot x - 3 = - {{3\sin x + \cos x} \over {\sin x}} \hfill \cr} \right.\).

Khi đó \(I = \left. {\left[ { - \left( {\cot x + 3} \right)\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)} \right]} \right|_{{\pi \over 4}}^{{\pi \over 2}} + \int\limits_{{\pi \over 4}}^{{\pi \over 2}} {{{3\cos x - \sin x} \over {\sin x}}\,\,dx} .\)

\(\eqalign{ & = 4.\ln 2\sqrt 2 - 3.\ln 3 - \int\limits_{{\pi \over 4}}^{{\pi \over 2}} {dx} + 3.\int\limits_{{\pi \over 4}}^{{\pi \over 2}} {{{d\left( {\sin x} \right)} \over {\sin x}}} \cr & = 4.\ln 2\sqrt 2 - 3.\ln 3 - \int\limits_{{\pi \over 4}}^{{\pi \over 2}} {dx} + 3\left. {\ln \left| {\sin x} \right|} \right|_{{\pi \over 4}}^{{\pi \over 2}} \cr & = 4.\ln 2\sqrt 2 - 3.\ln 3 - {\pi \over 4} - 3.\ln {1 \over {\sqrt 2 }} \cr & = 12ln\sqrt 2 - 3\ln 3 - {\pi \over 4} + 3\ln \sqrt 2 = 15.\ln \sqrt 2 - 3.\ln 3 - {\pi \over 4} \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ m = 15 \hfill \cr n = - 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow m + n = 12. \cr} \)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.