Chứng minh rằng: \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc\) thì \(a=b=c\) hoặc \(a+b+c=0\).

Câu hỏi số 212412:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212412

Phương pháp giải

Kết hợp kiến thức mới học và kiến thức cũ về hằng đẳng thức để suy luận logic ra hướng giải bài tập.Hằng đẳng thức được sử dụng: \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right).\)

Giải chi tiết

Cách giải:

Từ đẳng thức đã cho suy ra \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=0\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{b^3} + {c^3} = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - bc} \right) = \left( {b + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right] = {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right)\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = {a^3} + \left( {{b^3} + {c^3}} \right) - 3abc\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = {a^3} + {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right) - 3abc\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - \left[ {3bc\left( {b + c} \right) + 3abc} \right]\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - 3bc\left( {a + b + c} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - ab - ac + {b^2} + 2bc + {c^2} - 3bc} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right)\end{array}\)

Do đó nếu \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=0\) thì \(a+b+c=0\) hoặc \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac=0\)

Mà \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac=\frac{1}{2}.\left[ {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}} \right]\) suy ra \(a=b=c\). (điều phải chứng minh)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link