Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\frac{-2-3i}{3-2i}z+1|=1\).

Câu 213928: Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\frac{-2-3i}{3-2i}z+1|=1\).

A. \(\sqrt{2}\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Câu hỏi : 213928

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Gọi \(z=x+yi\), thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ \(x,y\).

Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho \(\left| z \right|\) đạt GTLN.

Đáp án : C
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Có \(\frac{-2-3i}{3-2i}=-i\). Đặt \(z=x+yi\) thì

\(\frac{-2-3i}{3-2i}z+1=-i(x+yi)+1=(y+1)-xi\)

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành \({{(y+1)}^{2}}+{{x}^{2}}=1\)

Điểm biểu diễn \(M(x,y)\) của \(z\) chạy trên đường tròn (*) có tâm \(I\left( 0,-1 \right)\), bán kính bằng \(1\).

Cần tìm điểm \(M(x,y)\) thuộc đường tròn này để \(OM\) lớn nhất.

Vì \(O\) nằm trên đường tròn nên \(OM\) lớn nhất khi \(OM\) là đường kính của (*) \(\Leftrightarrow \) \(I\) là trung điểm của \(OM\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=2{{x}_{I}} & {} \\ y=2{{y}_{I}} & {} \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=0 & {} \\ y=-2 & {} \\\end{array} \right.\Leftrightarrow M(0,-2)\). Suy ra \(z=-2i\Leftrightarrow |z|=2\)

Vậy \(\max \left| z \right|=2\)

Chú ý:
Sai lầm thường gặp:

- Không chuyển được bài toán từ dạng đại số về dạng hình học.

- Không tìm được điều kiện để \(|z|\) đạt GTLN.

- Tính sai mô đun các số phức.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.