Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện

Câu hỏi số 213928:

Vận dụng

Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\) thỏa mãn điều kiện \(|\frac{-2-3i}{3-2i}z+1|=1\).

A. \(\sqrt{2}\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213928

Phương pháp giải

Gọi \(z=x+yi\), thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ \(x,y\).

Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho \(\left| z \right|\) đạt GTLN.

Giải chi tiết

Có \(\frac{-2-3i}{3-2i}=-i\). Đặt \(z=x+yi\) thì

\(\frac{-2-3i}{3-2i}z+1=-i(x+yi)+1=(y+1)-xi\)

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành \({{(y+1)}^{2}}+{{x}^{2}}=1\)

Điểm biểu diễn \(M(x,y)\) của \(z\) chạy trên đường tròn (*) có tâm \(I\left( 0,-1 \right)\), bán kính bằng \(1\).

Cần tìm điểm \(M(x,y)\) thuộc đường tròn này để \(OM\) lớn nhất.

Vì \(O\) nằm trên đường tròn nên \(OM\) lớn nhất khi \(OM\) là đường kính của (*) \(\Leftrightarrow \) \(I\) là trung điểm của \(OM\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=2{{x}_{I}} & {} \\ y=2{{y}_{I}} & {} \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=0 & {} \\ y=-2 & {} \\\end{array} \right.\Leftrightarrow M(0,-2)\). Suy ra \(z=-2i\Leftrightarrow |z|=2\)

Vậy \(\max \left| z \right|=2\)

Chú ý khi giải

Sai lầm thường gặp:

- Không chuyển được bài toán từ dạng đại số về dạng hình học.

- Không tìm được điều kiện để \(|z|\) đạt GTLN.

- Tính sai mô đun các số phức.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.