Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng a. Biết rằng\(AC \bot BD.\) Khi đó
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng a. Biết rằng\(AC \bot BD.\) Khi đó để \(AB + CD\) đạt giá trị lớn nhất thì
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Vẽ đường kính CE của đường tròn (O). Chứng minh AB = DE rồi đánh giá \({\left( {AB + CD} \right)^2}\) đạt GTLN dựa vào bđt Cô-si, từ đó suy ra điều kiện thỏa mãn bài toán.
Vẽ đường kính CE của đường tròn (O)
Ta có \(\widehat {EAC} = {90^0},\,\widehat {EDC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn đường kính CE ).
Từ đó ta có \(AE \bot AC.\). Mặt khác theo giả thiết
Kéo theo AE//BD Vậy AEDB là hình thang.
Do hình thang AEDB nội tiếp (O) nên nói phải là hình thang cân.
Kéo theo AB = DE (các cạnh bên hình thang cân).
Từ đó ta có\(A{B^2} + C{D^2} = D{E^2} + D{C^2} = E{C^2} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\)(do\(\Delta EDC\) vuông tại D)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\left( {A{B^2},B{D^2}} \right)\) ta có
\(A{B^2} + B{D^2} \ge 2AB.CD \Rightarrow 2\left( {A{B^2} + B{D^2}} \right) \ge A{B^2} + B{D^2} + 2AB.CD = {\left( {AB + CD} \right)^2}.\) Kéo theo \({\left( {AB + CD} \right)^2} \le 2\left( {4{a^2}} \right) = 8{a^2} \Rightarrow AB + CD \le 2\sqrt 2 a.\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = CD
Xét tam giác \(\Delta ABI,\,\,\Delta DCI\) có AB = CD,\(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AD,\(\widehat {BAC} = \widehat {DCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung
Do đó \(\Delta ABI = \Delta DCI\left( {g.c.g} \right)\) Kéo theo \(AI = ID,\,IB = IC.\) Suy ra \(AC = AI + IC = ID + IB = BD.\)
Chọn đáp án B.
Đáp án cần chọn là: B
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
