Cho tam giác ABC (AB \( \ne \) BC), tia \(Bx\) đi qua trung điểm \(M\) của \(AC\). Kẻ \(AE\) và \(CF\) vuông

Câu hỏi số 216889:

Vận dụng

Cho tam giác ABC (AB \( \ne \) BC), tia \(Bx\) đi qua trung điểm \(M\) của \(AC\). Kẻ \(AE\) và \(CF\) vuông góc với \(Bx\) (\(E\) và \(F\) thuộc \(Bx\)).

a) Chứng minh \(\Delta \)AME = \(\Delta \)CMF.

b) Chứng minh \(AF // CE\).

c) Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AF\) và \(CE\). Chứng minh \(P, M, Q\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:216889

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn.

b) Chứng minh \(\Delta AMF = \Delta CME \Rightarrow \widehat {MAF} = \widehat {MCE} \Rightarrow \)đpcm.

c) Chứng minh \(\Delta APM = \Delta CQM \Rightarrow \widehat {AMP} + \widehat {AMQ} = {180^0} \Rightarrow P,M,Q\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta CMF\) có:

\(MA = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(AC\))

\(\widehat {AEM} = \widehat {CFM} = {90^0}\) (gt)

\(\widehat {AME} = \widehat {CMF}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta AME = \Delta CMF\left( {c.h.g.n} \right)\)

b) Từ câu a) \(\Delta AME = \Delta CMF \Rightarrow ME = MF\)(hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AMF\) và \(\Delta CME\) có:

\(MA = MC\( (M là trung điểm của AC)

\(\widehat {AMF} = \widehat {CME}\) (đối đỉnh)

\(ME = MF\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AMF = \Delta CME\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {MAF} = \widehat {MCE}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AF//CE\) (đpcm)

c) Vì \(P\) là trung điểm của \(AF\) nên \(AP = PF = \frac{{AF}}{2}\left( 1 \right)\)

Vì \(Q\) là trung điểm của \(CE\) nên \(CQ = QE = \frac{{CE}}{2}\left( 2 \right)\)

Mà \(AF = CE\left( 3 \right)\) (hai cạnh tưng ứng do \(\Delta AMF = CME\left( {cmt} \right)\))

Từ (1),(2) và (3) ta có \(AP = CQ\).

Xét \(\Delta APM\) và \(\Delta CQM\) có:

\(AP = CQ\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {PAM} = \widehat {QCM}\) (vì \(\widehat {MAF} = \widehat {MCE},P \in FA,Q \in CE\))

\(MA = MC\) (M là trung điểm của \(AC\))

Suy ra \(\Delta APM = \Delta CQM\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {AMP} = \widehat {CMQ}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat {AMP} + \widehat {AMQ} = \widehat {CMQ} + \widehat {AMQ} = {180^0}\) (do \(\widehat {CMQ},\widehat {AMQ}\) kề bù)

Do đó \(\widehat {AMP} + \widehat {AMQ} = {180^0} \Rightarrow P,M,Q\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link