Cho \(Q=\left( \frac{{{(x-1)}^{2}}}{3x+{{(x-1)}^{2}}}-\frac{1-2{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{3}}-1}+\frac{1}{x-1}

Câu hỏi số 217163:

Vận dụng

Cho \(Q=\left( \frac{{{(x-1)}^{2}}}{3x+{{(x-1)}^{2}}}-\frac{1-2{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{3}}-1}+\frac{1}{x-1} \right):\frac{3x}{{{x}^{3}}+x}\)

a) Rút gọn Q

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217163

Phương pháp giải

a) Tìm ĐKXĐ của biểu thức.

Sử dụng các bước biến đổi phân thức đã được học để rút gọn biểu thức.

b) Bám sát vào điều kiện xác định của biểu thức để tìm được giá trị lớn nhất

Giải chi tiết

a) ĐK:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\\{x^3} + x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 0\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}Q = \left[ {\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \frac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right]:\frac{{3x}}{{{x^3} + x}}\\\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x + {x^2} - 2x + 1}} - \frac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right]:\frac{{3x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right].\frac{{x({x^2} + 1)}}{{3x}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{(x - 1)}^3} + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{{x^2} + 1}}{3}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{x^3} - 3x{}^2 + 3x - 1 + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{{x^2} + 1}}{3}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{{x^2} + 1}}{3} = \frac{{{x^2} + 1}}{3}.\end{array}\)

b) Ta có Q = \(\frac{{{x}^{2}}+1}{3}\),

\({{x}^{2}}\ge 0\,\,\forall x\Rightarrow {{x}^{2}}+1\ge 1\,\,\forall x\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}+1}{3}\ge \frac{1}{3}\forall x\)

Vậy \(Max\,\,Q=\frac{1}{3}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link