Cho (P): \(y = {x^2} + 2x - 3\) và \(d:y = m\left( {x - 4} \right) - 2.\) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm
Cho (P): \(y = {x^2} + 2x - 3\) và \(d:y = m\left( {x - 4} \right) - 2.\)
Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right),B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) sao cho biểu thức \(P = 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 9{x_1}{x_2} + 2014\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ta xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt. \(\left( {a \ne 0,\Delta > 0} \right)\).
- Khi phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức Vi-et:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).
- Biến đổi biểu thức P để áp dụng được hệ thức Vi-et: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}.\)
- Đưa biểu thức P về dạng chỉ chứa ẩn m, lập BBT để tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số.
Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} + 2x - 3 = m\left( {x - 4} \right) - 2 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 4m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\)
Để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ta xét phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\{\left( {2 - m} \right)^2} - 4\left( {4m - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 20m + 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 10 + 2\sqrt {23} \\m < 10 - 2\sqrt {23} \end{array} \right.\)
Gọi là 2 nghiệm của phương trình (*).
Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = m - 2\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{8}{1} = 4m - 1\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 9{x_1}{x_2} + 2014\\ = 2\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right) + 9{x_1}{x_2} + 2014\\ = 2\left( {{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 2\left( {4m - 1} \right)} \right) + 9\left( {4m - 1} \right) + 2014\\ = 2\left( {{m^2} - 4m + 4 - 8m + 2} \right) + 36m - 9 + 2014\\ = 2{m^2} + 12m + 2017 = f\left( m \right)\end{array}\)
Lập BBT:
Ta thấy hàm số f(m) đạt GTNN tại \(m = - 3\) thoả mãn \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 10 + 2\sqrt {23} }\\{m < 10 - 2\sqrt {23} }\end{array}} \right.\)
Vậy với \(m = - 3\) thì P có GTNN.
Đáp án cần chọn là: D
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
