Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x+y+z+xy+yz+zx=6.\) Khi đó giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 217675:

Vận dụng

Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x+y+z+xy+yz+zx=6.\) Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(M={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\) là:

A. \(5\)

B. \(2\)

C. \(7\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217675

Phương pháp giải

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các tích \(x.1,y.1,z.1,xy,yz,zx\) để làm xuất hiện \({{x}^{2}},{{y}^{2}},{{z}^{2}}\).

Giải chi tiết

Câu 12.

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có \(x=x.1\le \frac{{{x}^{2}}+1}{2}.\)

Tương tự ta có \(y\le \frac{{{y}^{2}}+1}{2},\,\,z\le \frac{{{z}^{2}}+1}{2}.\)

Ta cũng có \(xy\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}.\) Tương tự \(xz\le \frac{{{x}^{2}}+{{z}^{2}}}{2},\,yz\le \frac{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{2}\,.\)

Cộng các vế bất đẳng thức trên lại ta có

\(x+y+z+xy+yz+zx\le \frac{{{x}^{2}}+{{1}^{2}}}{2}+\frac{{{y}^{2}}+1}{2}+\frac{{{z}^{2}}+1}{2}+\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}+\frac{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{2}+\frac{{{z}^{2}}+{{x}^{2}}}{2}=\frac{3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}{2}+\frac{3}{2}.\)

Do đó \(6\le \frac{3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}{2}+\frac{3}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 3.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & x=1,\,y=1,\,z=1 \\ & x=y,\,y=z,\,z=x \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=z=1.\)

Chọn đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link