a) Cho biểu thức \(A=\left( \frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}

Câu hỏi số 217764:

Vận dụng

a) Cho biểu thức \(A=\left( \frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1} \right).\frac{{{(\sqrt{x}-1)}^{2}}}{2}\), (với \( x \ge 0\) ; \(x \ne 1\) ).

Rút gọn A, rồi tìm giá trị lớn nhất của A.

b) Một căn phòng hình vuông được lát bằng những viên gạch men hình vuông cùng kích cỡ, vừa hết 441 viên (không viên nào bị cắt xén). Gạch gồm 2 loại men trắng và men xanh, loại men trắng nằm trên 2 đường chéo của nền nhà còn lại là loại men xanh. Tính số viên gạch men xanh.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217764

Phương pháp giải

Phương pháp:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức nếu đề bài chưa cho.

Bước 2: Phân tích các mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo các phép biến đổi căn thức).

+) Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện nhân tử chung,

+) Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác hay không.

Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện của đề bài để kết luận.

Bước 4: Đánh giá biểu thức dựa vào điều kiện xác định, tìm GTLN của biểu thức A.

+) Xác định giá trị của x để biểu thức đạt dấu =.

+) Kết hợp với ĐKXĐ để kết luận.

Giải chi tiết

Giải:

a) Với \(\text{x}\ge \text{0; x}\ne 1\), ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 1) - (\sqrt x + 2)(\sqrt x - 1)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right).\frac{{{{(\sqrt x - 1)}^2}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{x - \sqrt x - 2 - (x + \sqrt x - 2)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{(\sqrt x - 1)}^2}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{ - 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - x + \sqrt x }}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}.\end{array}\)

Ta có: \(A=\frac{-8x+8\sqrt{x}}{8{{(\sqrt{x}+1)}^{2}}}=\frac{{{(\sqrt{x}+1)}^{2}}-9x+6\sqrt{x}-1}{8{{(\sqrt{x}+1)}^{2}}}=\frac{1}{8}-\frac{{{(3\sqrt{x}-1)}^{2}}}{8{{(\sqrt{x}+1)}^{2}}}\le \frac{1}{8}\).

Dấu “=”xảy ra\(\Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)

Vậy GTLN của A bằng \(\frac{1}{8}\)(tại \(x=\frac{1}{9}\))

Cách khác: A = \(\frac{-{{(\sqrt{x}+1)}^{2}}+3(\sqrt{x}+1)-2}{{{(\sqrt{x}+1)}^{2}}}=-2{{y}^{2}}+3y-1\), với y = \(\frac{1}{\sqrt{x}+1}>0\))

\(\Rightarrow A=-2\left( {{y}^{2}}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}-\frac{9}{16} \right)-1=-2{{\left( y-\frac{3}{4} \right)}^{2}}+\frac{1}{8}\le \frac{1}{8}\).

Dấu “=”xảy ra\(\Leftrightarrow y =\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{9}\)…

b) Số viên gạch trong mỗi hàng là \(\sqrt{441}\)= 21 (viên)

Trên mỗi đường chéo của nền nhà hình vuông đó có 21 viên.

Vì viên gạch tại tâm hình vuông nền nhà nằm trên cả 2 đường chéo (do 21 là số lẻ) nên số viên gạch men trắng là 21. 2 – 1 = 41 (viên)

Số viên gạch men xanh là: 441 – 41 = 400 (viên)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link