Phương trình \({{4}^{x}}+{{2}^{x}}-m=0\)có nghiệm duy nhất khi :

Câu 217918: Phương trình \({{4}^{x}}+{{2}^{x}}-m=0\)có nghiệm duy nhất khi :

A. \(m>0\)

B. \(m>-\frac{1}{4}\)

C. \(m=-\frac{1}{4}\)

D. \(m<0\)

Câu hỏi : 217918

Phương pháp giải:

Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc \(2\)theo \(t={{2}^{x}}.\) Để phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất thì phương trình bậc \(2\) theo \(t\) cần có duy nhất nghiệm dương. Biện luận theo \(m\) để tìm giá trị \(m.\)

Đáp án : A
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \({4^x} + {2^x} - m = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = {2^x}\\{t^2} + t - m = 0\,\,\left( 1 \right).\end{array} \right.\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất thì phương trình \(\left( 1 \right)\) cần có duy nhất nghiệm dương.

Trường hợp 1. \(\left( 1 \right)\) có duy nhất nghiệm, khi đó \(\Delta =1+4m=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{4}.\) Khi đó \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(t=-\frac{1}{2}<0.\)

Trường hợp 2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt, khi đó ta có \(m>-\frac{1}{4}\) và hai nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {1 + 4m} }}{2}\\{t_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {1 + 4m} }}{2} < 0\end{array} \right..\) Do đó để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm dương thì điều kiện cần là \({{t}_{1}}=\frac{-1+\sqrt{1+4m}}{2}>0\Leftrightarrow \sqrt{1+4m}>1\Leftrightarrow m>0.\)

Chọn đáp án A.

Chú ý:
Ở bài này để phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình \(\left( 1 \right)\) chỉ có duy nhất nghiệm dương, điều này nói rằng phương trình \(\left( 1 \right)\) không cần có duy nhất nghiệm. Tức nếu phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm thỏa mãn \({{t}_{1}}<0<{{t}_{2}}\) thì vẫn là có duy nhất nghiệm dương.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.