Cho \(P=\frac{2a+1}{{{a}^{2}}+2}\) . Khi đó giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tương ứng của \(P\)

Câu hỏi số 217925:

Nhận biết

Cho \(P=\frac{2a+1}{{{a}^{2}}+2}\) . Khi đó giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tương ứng của \(P\) là:

A. \(-\frac{1}{2};1\)

B. \(1;-\frac{1}{2}\)

C. \(-1;\frac{1}{2}\)

D. \(\frac{1}{2};-1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217925

Phương pháp giải

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức đã cho thành một phương trình bậc hai đối với ẩn \(a\) và tham số \(P\).

Tìm điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai rồi tìm GTLN, GTNN

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Ta có

\(P=\frac{2a+1}{{{a}^{2}}+2}\Leftrightarrow P\left( {{a}^{2}}+2 \right)=2a+1\Leftrightarrow P{{a}^{2}}-2a+2P-1=0\,\,\,\left( 1 \right).\)

\(P\) thỏa mãn \(P=\frac{2a+1}{{{a}^{2}}+2}\) khi và chỉ khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.

Trường hợp 1. \(P=0\) khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-2a-1=0\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}.\)

Trường hợp 2. \(P\ne 0.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,\Delta '\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{1}^{2}}-P\left( 2P-1 \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow 1-2{{P}^{2}}+P\ge 0 \\ & \Leftrightarrow 2{{P}^{2}}-P-1\le 0 \\ & \Leftrightarrow \left( P-1 \right)\left( 2P+1 \right)\le 0 \\ & \Leftrightarrow \left( P-1 \right)\left( P+\frac{1}{2} \right)\le 0. \\ \end{align}\)

Chú ý rằng \(P+\frac{1}{2}>P-1,\,\,\forall P\) và tích hai số là số không dương khi và chỉ khi có một số không dương và một số không âm, hay

\(ab \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a \le 0\\b \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}b \le 0\\a \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

ta suy ra

\(\left( {P - 1} \right)\left( {P + \frac{1}{2}} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P - 1 \le 0\\P + \frac{1}{2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P \le 1\\P \ge - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le P \le 1.\)

Với \(P=-\frac{1}{2}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-\frac{1}{2}{{a}^{2}}-2a+\left( 2.\left( -\frac{1}{2} \right)-1 \right)=0\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}}{2}+2a+2=0\Leftrightarrow a=-2.\)

Với \(P=1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(1.{{a}^{2}}-2a+\left( 2.1-1 \right)=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a+1=0\Leftrightarrow a=1.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(1\) đạt được tại \(a=1,\) giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(-\frac{1}{2}\) đạt được tại \(a=-2.\)

Chọn đáp án B.

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link