Cho \(y=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-5x+7}\) Gọi \(Q,P\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất

Câu hỏi số 217934:

Vận dụng

Cho \(y=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-5x+7}\) Gọi \(Q,P\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \(y.\) Khi đó:

A. \(Q=0\)

B. \(P=0\)

C. \(Q=\frac{28}{3}\)

D. \(P=2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217934

Phương pháp giải

Phương pháp:

Biến đổi phương trình đã cho thành phương trình bậc hai ẩn \(x\)và tham số \(y\).

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm suy ra GTNN và GTLN của \(y\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Ta có : \(y=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-5x+7}\Leftrightarrow y\left( {{x}^{2}}-5x+7 \right)={{x}^{2}}\Leftrightarrow \left( y-1 \right){{x}^{2}}-5yx+7y=0\,\,\left( 1 \right).\)

\(y\) thỏa mãn \(y=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-5x+7}\) khi và chỉ khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.

Trường hợp 1. \(y=1\) khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-5x+7=0\Leftrightarrow x=\frac{7}{5}.\)

Trường hợp 2. \(y\ne 1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {5y} \right)^2} - 4.\left( {y - 1} \right).\left( {7y} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 25{y^2} - 4\left( {7{y^2} - 7y} \right) \ge 0 \Leftrightarrow - 3{y^2} + 28y \ge 0\\ \Leftrightarrow 3{y^2} - 28y \le 0 \Leftrightarrow y\left( {3y - 28} \right) \le 0 \Leftrightarrow y\left( {y - \frac{{28}}{3}} \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le y \le \frac{{28}}{3}.\end{array}\)

Với \(y=0.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 0-1 \right){{x}^{2}}-5.0.x+7.0=0\Leftrightarrow -{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=0.\)

Với \(y=\frac{28}{3}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( \frac{28}{3}-1 \right){{x}^{2}}-5.\frac{28}{3}.x+7.\frac{28}{3}=0\Leftrightarrow \frac{25}{3}{{x}^{2}}-\frac{140}{3}x+\frac{196}{3}=0\Leftrightarrow {{\left( 5x-14 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\frac{14}{5}.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(y\) là \(\frac{28}{3}\) đạt được tại \(x=\frac{14}{5}\) giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(0\) đạt được tại \(x=0.\)

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link