Cho hình chóp S.ABCD có SA, AB,AC đôi một vuông góc. \(SA=2\text{a},AB=a,AC=a\sqrt{3}\). Diện tích mặt

Câu hỏi số 218051:

Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có SA, AB,AC đôi một vuông góc. \(SA=2\text{a},AB=a,AC=a\sqrt{3}\). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

A. \(\frac{8\pi {{a}^{2}}}{3}\)

B. \(8\pi {{a}^{2}}\)

C. \(\frac{4\pi \sqrt{2}{{a}^{2}}}{3}\)

D. \(4\pi \sqrt{2}{{a}^{2}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218051

Phương pháp giải

Chú ý. Đề có thể bị gõ sai ở chỗ \(S.ABCD\) nên thay bởi \(S.ABC.\)

Phương pháp. Ta xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC.\) Dùng các công thức trong tam giác vuông để xác định độ dài bán kính sau đó tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp theo công thức.

Giải chi tiết

Lấy \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(ABC.\) Trong mặt phẳng chứa \(SA\) và \(I.\)Dựng đường thẳng \(\text{Iy}\) vuông góc với mặt \(\left( ABC \right).\) Trong mặt phẳng chứa \(SA,Iy\) ta vẽ đường trung trực của \(SA\) cắt \(Iy\) tại điểm \(O.\) Khi đó \(O\) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABC.\) Thật vậy, do \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(ABC\) và \(Iy\bot \left( ABC \right)\) nên \(OA=OB=OC.\) Mặt khác \(O\) thuộc đường trung trực của \(SA\) nên \(SO=OA.\) Do đó \(SO=OA=OB=OC.\) Ta tính độ dài \(OA.\) Do \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) nên \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác \(ABC\) ta nhận được \(AI=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a.\) Lấy \(H\) là trung điểm của \(SA.\) Khi đó \(AH=\frac{SA}{2}=a.\) Hơn nữa theo cách dựng ta chứng minh được \(AHOI\) là hình chữ nhật. Kết hợp với \(AI=a=AH.\) Ta nhận được \(AHOI\)là hình vuông cạnh \(a.\) Do \(AO\) là đường chéo của hình vuông cạnh \(a\) nên theo định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(AIO\) ta có \(AO=\sqrt{A{{I}^{2}}+I{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}.\) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp \(S.ABC\) là

\(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .O{{A}^{2}}=4\pi {{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=8\pi {{a}^{2}}.\)

Chọn đáp án B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.