Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 4(x + y + z) = 3xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = + +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 2201:

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 4(x + y + z) = 3xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = $\frac{1}{2+x+yz}$ + $\frac{1}{2+y+zx}$ + $\frac{1}{2+z+xy}$

A. P = $\frac{3}{4}$

B. P = $-\frac{3}{4}$

C. P = $\frac{3}{8}$

D. P = $-\frac{3}{8}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2201

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có 3xyz = 4(x + y + z) ≥ 4.3 $\sqrt[3]{xyz}$ . Suy ra xyz ≥ 8 . Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức côsi ta được

2 + x + yz ≥ 2 $\sqrt{2x}$ + yz ≥ 2 $\sqrt{2\sqrt{2x}.yz}$ = 2 $\sqrt{2\sqrt{2xyz}.\sqrt{yz}}$ ≥ 4√2 . $\sqrt[4]{yz}$

Suy ra $\frac{1}{2+x+yz}$ ≤ $\frac{1}{4\sqrt{2}}$ . $\frac{1}{\sqrt[4]{yz}}$ ≤ $\frac{1}{4}$ . $\frac{1}{2}$ $\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{yz}} \right )$ ≤ $\frac{1}{8}\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{yz} \right )$ ≤ $\frac{1}{8}\left ( \frac{3}{4}+\frac{1}{yz} \right )$

Tương tự ta cũng có $\frac{1}{2+y+zx}$ ≤ $\frac{1}{8}\left ( \frac{3}{4}+\frac{1}{zx} \right )$ , $\frac{1}{2+y+zx}$ ≤ $\frac{1}{8}\left ( \frac{3}{4}+\frac{1}{xy} \right )$ .

Do đó P ≤ $\frac{1}{8}\left ( \frac{9}{4}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right )$ = $\frac{1}{8}\left ( \frac{9}{4}+\frac{3}{4} \right )$ = $\frac{3}{8}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Vậy giá trị lớn nhất của P là $\frac{3}{8}$ ,đạt được khi x = y = z = 2

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.