Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = - x + m\) cắt đồ

Câu hỏi số 220305:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = - x + m\) cắt đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = {{x - 1} \over {2x}}\) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB là ngắn nhất.

A. \(m = {1 \over 2}\)

B. \(m = {5 \over 9}\)

C. \(m = 5\)

D. \(m = - {1 \over 2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220305

Phương pháp giải

Số giao điểm của (d) và (C) là số nghiệm phân biệt của phương trình hoành độ giao điểm.

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng khi biết tọa độ 2 đầu mút \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2},{y_2}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} \)

Áp dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) : \(\left\{ \matrix{ {x_1} + {x_2} = {{ - b} \over a} \hfill \cr {x_1}{x_2} = {c \over a} \hfill \cr} \right.\), với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai.

Giải chi tiết

Ta có: Phương trình hoành độ giao điểm là: \(\eqalign{ & - x + m = {{x - 1} \over {2{\rm{x}}}} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne 0 \hfill \cr 2{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}}m + x - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne 0 \hfill \cr g\left( x \right) = 2{{\rm{x}}^2} + x(1 - 2m) - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ g\left( 0 \right) \ne 0\,\,\left( {ld} \right) \hfill \cr \Delta = {(1 - 2m)^2} + 8 > 0\,\,\forall m. \hfill \cr} \right. \cr} \)

Khi đó tọa độ hai giao điểm là \(A\left( {{x_1}; - {x_1} + m} \right),\,\,B\left( {{x_2}, - {x_2} + m} \right)\) với \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của g(x).

\(AB = \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{( - {x_1} + m + {x_2} - m)}^2}} = \sqrt 2 \sqrt {{{({x_1} + {x_2})}^2} - 4{{\rm{x}}_1}{x_2}} = \sqrt 2 \sqrt {{{4{m^2} - 4m + 1} \over 4} + 2} \ge 2\,\,\,\left( {m = {1 \over 2}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.