Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C’\) có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của

Câu hỏi số 221598:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C’\) có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của \(A’\) lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\text{AA }\!\!'\!\!\text{ }\) và BC bằng \(\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\) Thể tích V của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C’\) tính theo a là:

A. \(\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\)

B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\)

C. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}\)

D. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221598

Phương pháp giải

- Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng đinh nghĩa: Khoảng cách giữ hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng.

- Thể tích khối lăng trụ \(V=Sh\).

Giải chi tiết

Gọi D là trung điểm của BC, H là chân dường cao kẻ từ \(A’\) đến (ABC), và kẻ K là chân đường cao kẻ từ H đến \(AA'\).

Gọi M là hình chiếu của D lên AA’ thì \(DM\bot AA’\).

Mà \(CB\bot \left( AHA' \right)\Rightarrow BC\bot DM\Rightarrow d\left( A'A,BC \right)=DM\)

Lại có

\(\begin{array}{l}KH//DM \Rightarrow \frac{{HK}}{{DM}} = \frac{{AH}}{{AD}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow HK = \frac{2}{3}DM = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\end{array}\)

Ta có: \(AH=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Xét tam giác vuông \(AHA’\) ta có:

\(\frac{1}{A'H}=\sqrt{\frac{1}{H{{K}^{2}}}-\frac{1}{A{{H}^{2}}}}=\sqrt{\frac{12}{{{a}^{2}}}-\frac{3}{{{a}^{2}}}}=\frac{3}{a}\Rightarrow A'H=\frac{a}{3}\)

\(\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{A'B'C'}}.A'H=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a}{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.\)

Chú ý khi giải

Ta có thể xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách: Tìm một mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia tại 1 điểm. Khi đó khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng còn lại sẽ là khoảng cách cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.