Cho a,b,c ≥ 0 thỏa mãn a2+b2+c2=3Chứng minh : .

Câu hỏi số 2225:

Cho a,b,c ≥ 0 thỏa mãn a²+b²+c²=3Chứng minh : $\frac{a^{3}}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{1+c^{2}}} +\frac{c^{3}}{\sqrt{1+a^{2}}} \geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .

A. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=2

B. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=3

C. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

D. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=-1

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2225

Giải chi tiết

Nhận xét :Do trong giả thiết ta có : a²+b²+c² =3 nên trong cách giải ta tìm cách để xuất hện điều kiện.

Ta xét: $\frac{a^{3}}{2\sqrt{b^{2}+1}}$ + $\frac{a^{3}}{2\sqrt{b^{2}+1}}$ + $\frac{b^{2}+1}{A}$ ≥ 3 $\sqrt[3]{\frac{a^{6}(b^{2}+1)}{4(b^{2}+1)A}}$

<=> $\frac{a^{3}}{2\sqrt{b^{2}+1}}$ + $\frac{a^{3}}{2\sqrt{b^{2}+1}}$ + $\frac{b^{2}+1}{A}$ ≥ 3a². $\sqrt[3]{\frac{1}{4A}}$ (1)

Dấu "=" xảy ra khi :

$\frac{a^{3}}{2\sqrt{b^{2}+1}}$ = $\frac{b^{2}+1}{A}$ <=> a³= $\frac{2\sqrt{(b^{2}+1)^{3}}}{A}$

<=> a= $\sqrt[3]{\frac{2}{A}}.\sqrt{b^{2}+1}$ <=> a²= $\sqrt[3]{(\frac{2}{A})^{2}}$ . (b²+1) (*)

Tương tự ta có : $\frac{b^{3}}{2\sqrt{c^{2}+1}}$ + $\frac{b^{3}}{2\sqrt{c^{2}+1}}$ + $\frac{c^{2}+1}{A}$ ≥ 3b² $\sqrt[3]{\frac{1}{4A}}$ (2)

Dấu ''='' xảy ra khi: b²= $\sqrt[3]{(\frac{2}{A})^{2}}$ .(b²+1) (**)

$\frac{c^{3}}{2\sqrt{a^{2}+1}}$ + $\frac{c^{3}}{2\sqrt{a^{2}+1}}$ + $\frac{a^{2}+1}{A}$ ≥ 3c² $\sqrt[3]{\frac{1}{4A}}$ (3)

Dấu ''='' xảy ra khi: c²= $\sqrt[3]{(\frac{2}{A})^{2}}$ .(b²+1) (***)

Vậy các đẳng thức (1), (2), (3 ) xảy ra khi có (*),(**), (***).

Ta tìm A từ việc cộng (*),(**), (***) vế với vế:

a²+b²+c² = $\sqrt[3]{(\frac{2}{A})^{2}}(b^{1}+1c^{2}+1+a^{2}+1)$

<=> 1= $\sqrt[3]{(\frac{2}{A})^{2}}$ . 2 <=> $\frac{1}{8}$ = $\frac{4}{A^{2}}$ => A= $\sqrt{32}$ = 4 $\sqrt{2}$

Từ đó chọn A=4 $\sqrt{2}$ , ta có đẳng thức sau :

$\frac{a^{3}}{2\sqrt{b^{2}+1}}$ + $\frac{a^{3}}{2\sqrt{b^{2}+1}}$ + $\frac{b^{2}+1}{4\sqrt{2}}$ ≥ 3a²= $\sqrt[3]{\frac{1}{16\sqrt{2}}}$

$\frac{b^{3}}{2\sqrt{c^{2}+1}}$ + $\frac{b^{3}}{2\sqrt{c^{2}+1}}$ + $\frac{c^{2}+1}{4\sqrt{2}}$ ≥ 3b² $\sqrt[3]{\frac{1}{16\sqrt{2}}}$

$\frac{c^{3}}{2\sqrt{a^{2}+1}}$ + $\frac{c^{3}}{2\sqrt{a^{2}+1}}$ + $\frac{a^{2}+1}{4\sqrt{2}}$ ≥ 3c² $\sqrt[3]{\frac{1}{16\sqrt{2}}}$

Cộng vế với vế của bất đẳng thức trên:

$\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+1}}$ + $\frac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+1}}$ + $\frac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+1}}$ + $\frac{1}{4\sqrt{2}}$ (a²+b²+c²+3)

≥ $\sqrt[3]{\frac{1}{16\sqrt{2}}}$ (a²+b²+c²).3

<=> $\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+1}}$ + $\frac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+1}}$ + $\frac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+1}}$ ≥ 9 $\sqrt[3]{\frac{1}{16\sqrt{2}}}$ - $\frac{6}{4\sqrt{2}}$

= $\frac{9}{2\sqrt[6]{2^{3}}}$ - $\frac{6}{4\sqrt{2}}$

= $\frac{9}{2\sqrt{2}}$ - $\frac{3}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{6}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{3}{\sqrt{2}}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Vậy $\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+1}}$ + $\frac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+1}}$ + $\frac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+1}}$ ≥ $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.