Cho hai vị trí \(A,B\) cách nhau,cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ \(A\)
Cho hai vị trí \(A,B\) cách nhau,cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ \(A\) và từ \(B\) đến bờ sông lần lượt là 118m và 487km. Một người đi từ \(A\) đến bờ sông để lấy nước mang về \(B\). Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi độ dài \(MC = x\), viết biểu thức tính độ đài quãng đường đi từ \(A\) đến \(M\) rồi từ \(M\) đến \(B\) theo ẩn \(x\).
Xét hàm số \(y = f\left( x \right)\) vừa có ở trên và tìm GTNN.
Đặt \(CM = x\left( {x > 0} \right)\)
Dễ tính ra \(CD = AH = \sqrt {{{615}^2} - {{\left( {487 - 118} \right)}^2}} = 492\)
Từ đề bài ta có: \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} + \sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} \)
Quãng đường ngắn nhất người đó có thể đi là giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;492} \right]\)
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{2{\rm{x}}}}{{2\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} - \frac{{2\left( {492 - x} \right)}}{{2\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} }}\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow x\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} - \left( {492 - x} \right)\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {492 - x} \right)^2}\left( {{x^2} + {{118}^2}} \right) = {x^2}\left( {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{58056}}{{605}} \in \left[ {0;492} \right]\\x = - \frac{{472}}{3} \notin \left[ {0;492} \right]\end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên
Vậy quãng đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là 779,8.
Có thể giải bài toán bằng cách hình học như sau:
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua D
Dễ thấy \(AM + MB = AM + MB'\)
\( \Rightarrow AM + MB\) ngắn nhất
\( \Leftrightarrow AM + MB'\) ngắn nhất
Dễ thấy theo bất đẳng thức tam giác: \(AM + MB' \ge AB'\)
\( \Rightarrow AM + MB'\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow AM + MB' = AB'\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A,M,B’ thẳng hàng
Do tam giác \(\Delta ACM \sim \Delta B'DM\) nên:
\(\frac{{AC}}{{B'D}} = \frac{{AM}}{{MD}} \Rightarrow \frac{{118}}{{487}} = \frac{x}{{492 - x}} \Leftrightarrow x = \frac{{58056}}{{605}}\).
Từ đó tính được \(AM,MB \Rightarrow \)quảng đường ngắn nhất.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
