Cho đa thức \(p\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{8}}+{{\left( 1+x \right)}^{9}}+{{\left( 1+x

Câu hỏi số 223314:

Vận dụng

Cho đa thức \(p\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{8}}+{{\left( 1+x \right)}^{9}}+{{\left( 1+x \right)}^{10}}+{{\left( 1+x \right)}^{11}}+{{\left( 1+x \right)}^{12}}\). Khai triển và rút gọn ta được đa thức \(P\left( x \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{a}_{12}}{{x}^{12}}.\) Tính tổng các hệ số \({{a}_{i}},i=0,1,2,...,12\)

A. 5

B. 7936

C. 0

D. 7920

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:223314

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân \({{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}\left( {{q}^{n}}-1 \right)}{q-1}\)

Áp dụng khai triển nhị thức Newton \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\)

Sử dụng tổng \({{\left( 1+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}={{2}^{n}}\)

Giải chi tiết

Cách giải:

\(\begin{align} & p\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{8}}+{{\left( 1+x \right)}^{9}}+{{\left( 1+x \right)}^{10}}+{{\left( 1+x \right)}^{11}}+{{\left( 1+x \right)}^{12}} \\ & =\frac{{{\left( 1+x \right)}^{8}}\left[ {{\left( 1+x \right)}^{5}}-1 \right]}{1+x-1}=\frac{{{\left( 1+x \right)}^{13}}-{{\left( 1+x \right)}^{8}}}{x}=\frac{{{\left( 1+x \right)}^{13}}}{x}-\frac{{{\left( 1+x \right)}^{8}}}{x} \\ & =\frac{\sum\limits_{m=0}^{13}{C_{13}^{m}{{x}^{m}}}}{x}-\frac{\sum\limits_{n=0}^{8}{C_{8}^{n}{{x}^{n}}}}{x}=\sum\limits_{m=0}^{13}{C_{13}^{m}{{x}^{m-1}}}-\sum\limits_{n=0}^{8}{C_{8}^{n}{{x}^{n-1}}} \\ & \Rightarrow {{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{12}}=\left( C_{13}^{1}-C_{8}^{1} \right)+\left( C_{13}^{2}-C_{8}^{2} \right)+...+\left( C_{13}^{8}-C_{8}^{8} \right)+C_{13}^{9}+...+C_{13}^{13} \\ & =\sum\limits_{a=1}^{13}{C_{13}^{a}}-\sum\limits_{b=1}^{8}{C_{8}^{b}} \\\end{align}\)

Xét tổng

\(\begin{align} & {{\left( 1+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}={{2}^{n}} \\ & \Rightarrow \sum\limits_{a=1}^{13}{C_{13}^{a}}={{2}^{13}}-C_{13}^{0}={{2}^{13}}-1 \\ & \sum\limits_{b=1}^{8}{C_{8}^{a}}={{2}^{8}}-C_{8}^{0}={{2}^{8}}-1 \\ & \Rightarrow {{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{12}}={{2}^{13}}-1-{{2}^{8}}+1=7936 \\\end{align}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.