Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Điểm $M$ di động trên cạnh $SC,$

Câu hỏi số 223322:

Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Điểm $M$ di động trên cạnh $SC,$ đặt $\frac{MC}{MS}=k.$ Mặt phẳng qua $A,\,\,M$ song song với $BD$ cắt $SB,\,\,SD$ thứ tự tại $N,\,\,P.$ Thể tích khối chóp $C.APMN$ lớn nhất khi

A. $k=\sqrt{3}.$

B. $k=1.$

C. $k=2.$

D. $k=\sqrt{2}.$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:223322

Phương pháp giải

Dùng định lí Thalet, định lý Menelaus và phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp theo tham số k. Khảo sát hàm số chứa biến k để tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất

Giải chi tiết

Lời giải:

Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ và $I=SO\cap AM.$

Ba điểm $M,A,I$ thẳng hàng nên áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $SOC$ ta có: $\frac{SM}{MC}.\frac{CA}{AO}.\frac{OI}{IS}=1\Rightarrow \frac{OI}{SI}=\frac{k}{2}.$

Vì $NP$//$BD$$\Rightarrow $$\frac{SP}{SD}=\frac{SI}{SO}=\frac{SN}{SB}=\frac{2}{k+2}$ (định lí Thalet).

Và $d\left( P;\left( ABCD \right) \right)=d\left( N;\left( ABCD \right) \right)=\frac{DP}{SD}d\left( S;\left( ABCD \right) \right)$

$=\frac{k}{k+2}.\,d\left( S;\left( ABCD \right) \right)\Rightarrow {{V}_{P.ACD}}={{V}_{N.ABC}}=\frac{k}{2k+4}.{{V}_{S.ABCD}}.$

Ta có $\frac{{{V}_{S.AMP}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\frac{SM}{SC}.\frac{SP}{SD}=\frac{1}{k+1}.\frac{2}{k+2}\Rightarrow {{V}_{S.ANMP}}=\frac{2}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}.{{V}_{S.ABCD}}$

Vậy ${{V}_{C.ANMP}}={{V}_{S.ABCD}}-{{V}_{S.ANMP}}-{{V}_{P.ACD}}-{{V}_{N.ABC}}=\left( 1-\frac{2}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}-\frac{k}{k+2} \right).{{V}_{S.ABCD}}$$=\frac{2k}{{{k}^{2}}+3k+2}.{{V}_{S.ABCD}}$

Để ${{\left\{ {{V}_{C.ANMP}} \right\}}_{\max }}\Leftrightarrow f\left( k \right)=\frac{k}{{{k}^{2}}+3k+2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Xét hàm số $f\left( k \right)=\frac{k}{{{k}^{2}}+3k+2}$ trên khoảng $\left( 0;+\,\infty \right)$ có:

$f'\left( k \right)=\frac{-{{k}^{2}}+2}{{{\left( {{k}^{2}}+3k+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow k=\sqrt{2}$ (vì $k>0$)

$\Rightarrow $$\underset{\left( 0;+\,\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( k \right)=f\left( \sqrt{2} \right)=3-2\sqrt{2}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $k=\sqrt{2}.$ Vậy khi $k=\sqrt{2}$ thì thể tích khối chóp $C.ANMP$ lớn nhất.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.