Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và \(D,AB = AD = 2a,CD = a\). Gọi I là trung

Câu hỏi số 224692:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và \(D,AB = AD = 2a,CD = a\). Gọi I là trung điểm cạnh AD, biết hai mặt phẳng \(\left( {SBI} \right),\left( {SCI} \right)\) cùng vuông góc với đáy và thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(\dfrac{{3\sqrt {15} {a^3}}}{5}\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)\)

A. \({36^o}\)

B. \({45^o}\)

C. \({60^o}\)

D. \({30^o}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:224692

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định chân đường cao hình chóp

Bước 2: Xác định và tính góc cần tìm

Giải chi tiết

Do \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBI} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SCI} \right) \bot ABCD\\\left( {SBI} \right) \cap \left( {SCI} \right) = SI\end{array} \right. \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\)

Kẻ \(IH \bot BC\left( {H \in BC} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\\SI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow BC \bot SH \Rightarrow \widehat {\left( {ABCD} \right),\left( {SBC} \right)} = \widehat {\left( {SH,HI} \right)} = \widehat {SHI}\)

(do \(\widehat {SHI} < {90^0}\))

\({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AD = 3{a^2} \Rightarrow SI = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{3\sqrt {15} }}{5}a\)

Ta có \({S_{IAB}} = \dfrac{1}{2}AI.AB = \dfrac{1}{2}a.2a = {a^2},{S_{ICD}} = \dfrac{1}{2}ID.CD = \dfrac{1}{2}{a^2} \Rightarrow {S_{IBC}} = 3{a^2} - {a^2} - \dfrac{1}{2}{a^2} = \dfrac{3}{2}{a^2}\)

\({S_{IBC}} = \dfrac{1}{2}IH.BC \Rightarrow IH = \dfrac{{2{S_{IBC}}}}{{BC}} = \dfrac{{2.\dfrac{3}{2}{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{3\sqrt 5 a}}{5}\)

Xét tam giác vuông SIH có \(\tan \widehat {SHI} = \dfrac{{SI}}{{IH}} = \dfrac{{\dfrac{{3\sqrt {15} }}{5}a}}{{\dfrac{{3\sqrt 5 a}}{5}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SHI} = {60^0}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.