Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + 3.\) Tính diện tích \(S\) của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Câu 225127: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + 3.\) Tính diện tích \(S\) của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

A. \(S = 2.\)

B. \(S = \dfrac{1}{2}.\)

C. \(S = 4.\)

D. \(S = 1.\)

Câu hỏi : 225127

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Bước 1. Tính đạo hàm \(y' = f'\left( x \right)\) và giải \(f'\left( x \right) = 0.\)

Bước 2. Tìm các điểm cực trị. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm \({x_0} \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và qua điểm \({x_0}\) thì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm.

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0} \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và qua điểm \({x_0}\) thì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương.

Bước 3. Tính diện tích tam giác.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Bước 1. Ta có

\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x,\,\,f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 - 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 1\\{x_0} = - 1\end{array} \right..\)

Bước 2.

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\\f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0;1} \right)\end{array}\)

Ta có BBT:

Ta thấy qua \({x_0} = - 1;1\) thì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương, qua \({x_0} = 0\) thì \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm.

Vậy \({x_0} = - 1;1\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và điểm \(x = 0\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right).\) Vậy ba điểm của tam giác tạo thành là \(A\left( {0;3} \right),\,\,B\left( {1;2} \right),\,\,C\left( { - 1;2} \right).\)

Bước 3. Quan sát thấy \(A\) là điểm thuộc trục tung và \(B,\,C\) là điểm đối xứng qua trục tung nên nếu \(I\) là trung điểm của \(BC\) thì \(AI \bot BC,\) hay \(AI\) là đường cao của tam giác \(ABC.\) Ta tính được \(I\left( {0;2} \right).\) Do đó \(\overrightarrow {AI} = \left( {0; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;0} \right) \Rightarrow AI = 1,\,\,BC = 2.\) Vì vậy diện tích tam giác là \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AI.BC = \dfrac{1}{2}.1.2 = 1.\)

Chọn D.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.