Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{\cos x

Câu hỏi số 225155:

Thông hiểu

Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}.\) Tính \(M.m.\)

A. \(\dfrac{4}{{11}}.\)

B. \(\dfrac{3}{4}.\)

C. \(\dfrac{1}{2}.\)

D. \(\dfrac{{20}}{{11}}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:225155

Phương pháp giải

Bước 1. Đưa \(y\) về hàm có dạng \(y = f\left( {c{\rm{os}}\dfrac{x}{2},\,\sin \dfrac{x}{2}} \right).\)

Bước 2. Xét các trường hợp \(\sin \dfrac{x}{2} = 0\) và \(\sin \dfrac{x}{2} \ne 0.\) Với \(\sin \dfrac{x}{2} \ne 0,\) đặt \(t = \cot an\dfrac{x}{2}.\) Đưa hàm đã cho về hàm\(y = \dfrac{{a{t^2} + bt + c}}{{A{t^2} + Bt + C}}\,\,\left( 1 \right).\)

Bước 3. Đưa \(\left( 1 \right)\) về dạng tam thức bậc hai đối với \(t\) và sử dụng điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Bước 4. Tính \(M.m.\)

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}} = \dfrac{{\left( {\cos x + 1} \right) + 2\sin x + 2}}{{2\left( {\cos x + 1} \right) - \sin x + 2}} = \dfrac{{2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} + 4\sin \dfrac{x}{2}c{\rm{os}}\dfrac{x}{2} + 2\left( {{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{x}{2}} \right)}}{{4{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} - 2\sin \dfrac{x}{2}c{\rm{os}}\dfrac{x}{2} + 2\left( {{{\sin }^2}\dfrac{x}{2} + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\dfrac{x}{2}} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} + 2\sin \dfrac{x}{2}c{\rm{os}}\dfrac{x}{2} + {{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}{{3{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} - \sin \dfrac{x}{2}c{\rm{os}}\dfrac{x}{2} + {{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}.\end{array}\)

Nếu \(\sin \dfrac{x}{2} = 0\) thì \(y = \dfrac{2}{3}.\)

Nếu \(\sin \dfrac{x}{2} \ne 0.\) Ta chia cả tử và mẫu cho \({\sin ^2}\dfrac{x}{2}\) và đặt \(t = \cot an\dfrac{x}{2}\) ta nhận được \(y = \dfrac{{2{t^2} + 2t + 1}}{{3{t^2} - t + 1}},\,\,t \in \left( { - \infty ; + \infty } \right).\)

Khi đó ta có \(y\left( {3{t^2} - t + 1} \right) = 2{t^2} + 2t + 1 \Leftrightarrow \left( {3y - 2} \right){t^2} - \left( {y + 2} \right)t + y - 1 = 0\,\,\left( 2 \right).\)

Với \(y \ne \dfrac{2}{3}\) thì \(\left( 2 \right)\) là phương trình bậc hai đối với biến \(t,\) nên có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\Delta = {\left( {y + 2} \right)^2} - 4\left( {3y - 2} \right)\left( {y - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow - 11{y^2} + 24y - 4 \ge 0 \Leftrightarrow 11{y^2} - 24y + 4 \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {11y - 2} \right)\left( {y - 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{11}} \le y \le 2.\end{array}\)

Với \(y = 2\) thay vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta có \(4{t^2} - 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}.\)

Với \(y = \dfrac{2}{{11}}\) thay vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta có \( - \dfrac{{16}}{{11}}{t^2} - \dfrac{{24}}{{11}}t - \dfrac{9}{{11}} = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{3}{4}.\)

Vậy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của \(y\) tương ứng là \(M = 2,\,m = \dfrac{2}{{11}}.\) Do đó \(M.m = \dfrac{4}{{11}}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.