Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD,\,\,\,AB//CD,\,\,AB = 2CD.\,\,M\) là một điểm thuộc
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD,\,\,\,AB//CD,\,\,AB = 2CD.\,\,M\) là một điểm thuộc cạnh \(AD,\,\,\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right).\) Biết diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng \(\dfrac{2}{3}\) diện tích tam giác \(SAB.\) Tính tỉ số \(x = \dfrac{{MA}}{{MD}}.\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Bước 1. Đặt \(CD = a,\,d\left( {S,AB} \right) = b.\) Sử dụng tính chất của hai đường song song để thiết lập hệ thức giữa độ dài các cạnh.
Bước 2. Tính diện tích của MNPQ, SAB qua \(a,b,x.\)
Bước 3. Sử dụng giả thiết \({S_{MNPQ}} = \dfrac{2}{3}{S_{SAB}}\)để tìm \(x.\)
Đặt \(CD = a \Rightarrow AB = 2a.\) Giả sử \(d\left( {S,AB} \right) = b.\)
Ta có thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(MNPQ\,\,\left( {N \in BC,\,P \in SC,\,Q \in SD} \right).\) \( \Rightarrow QP//CD\)
Vì \(MQ//SA\) nên \(\dfrac{{QS}}{{QD}} = \dfrac{{MA}}{{MD}} = x = \dfrac{x}{1} \Rightarrow \dfrac{{QS}}{{QS + QD}} = \dfrac{x}{{x + 1}} = \dfrac{{QS}}{{SD}}.\)
Vì \(QP//DC\) nên \(\dfrac{{QP}}{{DC}} = \dfrac{{QS}}{{SD}} = \dfrac{x}{{x + 1}} \Rightarrow QP = \dfrac{{ax}}{{x + 1}}.\)
Vì \(MN//AD//DC\) nên
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{MK}}{{AB}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{1}{{x + 1}},\,\,\dfrac{{NK}}{{DC}} = \dfrac{{BN}}{{BC}} = \dfrac{{MA}}{{AD}} \Rightarrow \dfrac{{NK}}{{AB}} = \dfrac{{MA}}{{2AD}} = \dfrac{{xMD}}{{2AD}} = \dfrac{x}{{2\left( {x + 1} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{MK + NK}}{{AB}} = \dfrac{{2 + x}}{{2\left( {x + 1} \right)}} \Rightarrow MN = \dfrac{{a\left( {2 + x} \right)}}{{x + 1}}.\end{array}\)
Hơn nữa \(\dfrac{{d\left( {Q,MN} \right)}}{{d\left( {S,AB} \right)}} = \dfrac{{MD}}{{AD}} = \dfrac{1}{{x + 1}} \Rightarrow d\left( {Q,MN} \right) = \dfrac{b}{{x + 1}}.\)
Ta lại có \({S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {S,AB} \right).AB = ab\) và
\({S_{MNPQ}} = \dfrac{{QP + MN}}{2}d\left( {Q,MN} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{\rm{ax}}}}{{x + 1}} + \dfrac{{a\left( {x + 2} \right)}}{{x + 1}}} \right)\dfrac{b}{{x + 1}} = \dfrac{{\left( {ax + a} \right)b}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{a\left( {x + 1} \right)b}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ab}}{{x + 1}}.\)
Vì \({S_{MNPQ}} = \dfrac{2}{3}{S_{SAB}} \Rightarrow \dfrac{{ab}}{{x + 1}} = \dfrac{2}{3}ab \Rightarrow 2\left( {x + 1} \right) = 3 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}.\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
