Cho I(2 ;1). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3mx+1\) có hai điểm

Câu hỏi số 225813:

Vận dụng

Cho I(2 ;1). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3mx+1\) có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích \(\Delta IAB\) bằng \(8\sqrt{2}\).

A. m = 3

B. m = 2

C. m = 1

D. m = 4

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:225813

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để hàm đa thức bậc ba có 2 cực trị: phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

+) Tìm các điểm cực trị A, B của hàm số. Viết phương trình đường thẳng AB.

+) Tính AB, \(d\left( I;AB \right)\).

+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác IAB: \({{S}_{\Delta IAB}}=\frac{1}{2}d\left( I;AB \right).AB\)

Giải chi tiết

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-3m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=m\). Để hàm số có hai điểm cực trị thì m > 0. Khi đó hai điểm cực trị là

\(A\left( -\sqrt{m};2m\sqrt{m}+1 \right);\,\,B\left( \sqrt{m};-2m\sqrt{m}+1 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{m} \right)}^{2}}+{{\left( -4m\sqrt{m} \right)}^{2}}}=\sqrt{4m+16{{m}^{3}}}=2\sqrt{m\left( 1+4{{m}^{2}} \right)}\)

Ta có \(y={{x}^{3}}-3mx+1=\frac{1}{3}x\left( 3{{x}^{2}}-3m \right)-2mx+1=\frac{1}{3}xy'-2mx+1\)

\(\Rightarrow {{y}_{A}}=\frac{1}{3}{{x}_{A}}y{{'}_{A}}-2m{{x}_{A}}+1=-2m{{x}_{A}}+1;\,\,{{y}_{B}}=\frac{1}{3}{{x}_{B}}y{{'}_{B}}-2m{{x}_{B}}+1=-2m{{x}_{B}}+1\Rightarrow \) Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A và B có phương trình \(y=-2mx+1\Leftrightarrow 2mx+y-1=0\)

\(\Rightarrow d\left( I;AB \right)=\frac{\left| 2m.2+1-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}=\frac{4m}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}\) (vì m > 0).

\(\Rightarrow {{S}_{\Delta IAB}}=\frac{1}{2}d\left( I;AB \right).AB=\frac{1}{2}\frac{4m}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}.2\sqrt{m\left( 1+4{{m}^{2}} \right)}=4m\sqrt{m}=8\sqrt{2}\Leftrightarrow m\sqrt{m}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow m=2\,\,\left( tm \right)\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.