Cho \((P):y={{x}^{2}}\) và \((d):y=3x-m\). Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

Câu hỏi số 226822:

Vận dụng

Cho \((P):y={{x}^{2}}\) và \((d):y=3x-m\). Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \(A({{x}_{1}};{{y}_{1}});B({{x}_{2}};{{y}_{2}})\) thỏa mãn \(\sqrt{x_{1}^{2}+1}+\sqrt{x_{2}^{2}+1}=3\sqrt{3}\).

A. \(m=3\)

B. \(m=-3\)

\(m>3\)

D. Kết quả khác

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:226822

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm điều kiện của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Sử dụng định lý Vi – ét biến đổi biểu thức đã cho theo \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}\). Từ đó tìm m.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): \({{x}^{2}}=3x-m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+m=0(*)\)

(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow (*)\)có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{3}^{2}}-4m>0\Leftrightarrow m<\frac{9}{4}.\)

Áp dụng hệ thức Vi- et ta có : \(\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\\end{matrix} \right.\)

Ta có

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt{x_{1}^{2}+1}+\sqrt{x_{2}^{2}+1}=3\sqrt{3} \\ & \Leftrightarrow x_{1}^{2}+1+x_{2}^{2}+1+2\sqrt{(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)}=27 \\ & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2+2\sqrt{{{({{x}_{1}}{{x}_{2}})}^{2}}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+1}=27 \\ & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\sqrt{{{({{x}_{1}}{{x}_{2}})}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}=25\,\,\,(3) \\ \end{align}\)

Thay (1) và (2) vào (3) ta có:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,{3^2} - 2m + 2\sqrt {{m^2} + 9 - 2m + 1} = 25\\
\Leftrightarrow 9 - 2m + 2\sqrt {{m^2} - 2m + 10} = 25\\
\Leftrightarrow 2\sqrt {{m^2} - 2m + 10} = 16 + 2m\\
\Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 2m + 10} = m + 8\,\,\,(**)\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 8 \ge 0\\
{m^2} - 2m + 10 = {m^2} + 16m + 64
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge - 8\\
m = - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 3\,
\end{array}\)

Thử lại \(m=-3\) thỏa mãn pt (**) và điều kiện \(m<\frac{9}{4}\).

Vậy \(m=-3\) là giá trị cần tìm.

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link