Cho \((P):y={{x}^{2}}\)và \((d):y=(2m-1)x-m+1\). Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn

Câu hỏi số 226821:

Vận dụng

Cho \((P):y={{x}^{2}}\)và \((d):y=(2m-1)x-m+1\). Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn \(T=x_{1}^{2}\left( 1-x_{2}^{2} \right)+x_{2}^{2}\left( 1-4x_{1}^{2} \right)\) lớn nhất, trong đó \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) là hoành độ giao điểm của (d) và (P).

A. \(m\le 2\)

B. \(m<2\)

C. \(m=-2\)

D. \(m=2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:226821

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Vi – ét ; \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của(d) và (P). Biến đổi biểu thức từ yêu cầu đề bài để xuất hiện \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) . Sau đó biện luận, tìm giá trị của m.

Giải chi tiết

\(A({{x}_{1}};{{y}_{1}});B({{x}_{2}};{{y}_{2}})\) thỏa mãn \(T=x_{1}^{2}\left( 1-x_{2}^{2} \right)+x_{2}^{2}\left( 1-4x_{1}^{2} \right)\) lớn nhất.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) :

\(\begin{align} & {{x}^{2}}=(2m-1)x-m+1 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-(2m-1)x+m-1=0(*) \\\end{align}\)

(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow (*)\)có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{align} & \Leftrightarrow \Delta >0 \\ & \Leftrightarrow {{(2m-1)}^{2}}-4(m-1)>0 \\& \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m+1-4m+4>0 \\ & \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m+4+1>0 \\ & \Leftrightarrow {{(2m-2)}^{2}}+1>0\,\,\forall m \\\end{align}\)

Áp dụng hệ thức Vi- et ta có \(\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-1\,\,\,\,\,(1) \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=m-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\\end{matrix} \right.\)

Ta có

\(\begin{align} & A=x_{1}^{2}\left( 1-x_{2}^{2} \right)+x_{2}^{2}\left( 1-4x_{1}^{2} \right) \\ & \,\,\,\,\,\,=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-5x_{1}^{2}x_{2}^{2} \\ & \,\,\,\,\,\,={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-5{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}\begin{matrix} {} & (3) \\\end{matrix} \\\end{align}\)

Thay (1) và (2) vào (3) ta có:

\(\begin{align} & T={{(2m-1)}^{2}}-5{{(m-1)}^{2}}-2(m-1) \\ & \,\,\,\,\,=4{{m}^{2}}-4m+1-5{{m}^{2}}+10m-5-2m+2 \\ & \,\,\,\,\,=-{{m}^{2}}+4m-2 \\ & \,\,\,\,\,=2-({{m}^{2}}-4m+4) \\ & \,\,\,\,\,=2-{{(m-2)}^{2}}\le 2\,\,\forall \,\,m \\ & \Rightarrow Max\,T=2\Leftrightarrow m-2=0\Leftrightarrow m=2. \\\end{align}\)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link