Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, \(AB=8cm,AC=15cm\). Gọi O là giao điểm của ba đường phân giác

Câu hỏi số 227905:

Vận dụng cao

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A, \(AB=8cm,AC=15cm\). Gọi O là giao điểm của ba đường phân giác trong \(\Delta ABC\). Từ O kẻ OD, OE, OI lần lượt vuông góc với AB, AC và BC.

a) Chứng minh: \(CI=CE\).

b) Chứng minh: \(AD=OI\).

c) Tính khoảng cách từ điểm O đến ba cạnh của \(\Delta ABC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:227905

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất tia phân giác của 1 góc, tính chất 3 đường phân giác trong tam giác, tính chất tam giác cân, định lý Py-ta-go.

Giải chi tiết

a) Vì O là giao điểm của 3 đường phân giác trong \(\Delta ABC\) (gt) \(\Rightarrow \) CO là phân giác của \(\widehat{ACB}\) (tính chất 3 đường phân giác trong tam giác)

\(\Rightarrow \widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\) (tính chất tia phân giác của 1 góc)

Xét \({{\Delta }_{v}}IOC\) và \({{\Delta }_{v}}EOC\) có:

OC chung

\(\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow {{\Delta }_{v}}IOC={{\Delta }_{v}}EOC\) (cạnh huyền góc nhọn)

\(\Rightarrow CI=CE\) (2 cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat{BAC}={{90}^{0}}\left( gt \right)\) mà AO là phân giác nên suy ra \(\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}={{45}^{0}}\Rightarrow \widehat{DOA}={{90}^{0}}-\widehat{{{A}_{1}}}={{90}^{0}}-{{45}^{0}}={{45}^{0}}\)

\(\Rightarrow \Delta ADO\) là tam giác cân tại D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\(\Rightarrow AD=DO\left( 1 \right)\) (tính chất tam giác cân)

Mặt khác, O là giao điểm của 3 đường phân giác trong \(\Delta ABC\) (gt)

\(\Rightarrow OD=OE=OI\left( 2 \right)\)(tính chất 3 đường phân giác trong tam giác)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD=OI\left( 3 \right)\)

c) Xét \({{\Delta }_{v}}ABC\) có: \(B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{8}^{2}}+{{15}^{2}}=289\Rightarrow BC=17cm.\) (định lý Py-ta-go)

Xét \({{\Delta }_{v}}BDO\) và \({{\Delta }_{v}}BIO\) có:

OB chung

\(\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}\)(BO là phân giác của \(\widehat{ABC}\) )

\(\Rightarrow {{\Delta }_{v}}BDO={{\Delta }_{v}}BIO\) (cạnh huyền góc nhọn)

\(\Rightarrow BD=BI\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \({{\Delta }_{v}}ADO\) và \({{\Delta }_{v}}AEO\) có:

OA chung

\(\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow {{\Delta }_{v}}ADO={{\Delta }_{v}}AEO\) (cạnh huyền góc nhọn)

\(\Rightarrow AD=AE\left( 4 \right)\) (2 cạnh tương ứng)

Từ (2) (3) và (4) \(\Rightarrow OD=OE=OI=AD=AE\) .

Vì

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AD = AB - BD = AB - BI\\
AE = AC - EC = AC - CI
\end{array} \right. \Rightarrow AD + AE = AB + AC - \left( {BI + IC} \right) = AB + AC - BC\\
\Rightarrow 2AD = AB + AC - BC = 8 + 15 - 17 = 6 \Rightarrow AD = 6:2 = 3cm.\\
\Rightarrow OD = OE = OI = 3cm.
\end{array}\)

Vậy khoảng cách từ điểm O đến các cạnh của \(\Delta ABC\) bằng 3cm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link