Cho \(\Delta ABC\) đều, trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho

Câu hỏi số 229186:

Thông hiểu

Cho \(\Delta ABC\) đều, trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho \(AM=BN=CP\).

a) Chứng minh \(\Delta MNP\) đều.

b)Gọi O là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta ABC\). Chứng minh O cũng là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta MNP.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:229186

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất tam giác đều, tính chất ba đường trung trực của tam giác.

Giải chi tiết

a) Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AB=BC=AC;\,\,\,\widehat{ABC}=\widehat{CAB}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác đều).

Mà AM = BN = CP nên suy ra BM = CN = AP.

Xét \(\Delta AMP\) và \(\Delta BNM\) có:

\(\left\{ \begin{align} & AM=BN\left( cmt \right) \\ & \widehat{MAP}=\widehat{MBN}\left( gt \right) \\ & AP=BM\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta AMP=\Delta BNM\left( c-g-c \right)\)

\(\Rightarrow MP=MN\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta BNM\) và \(\Delta CPN\) có:

\(\left\{ \begin{align} & CP=BN\left( cmt \right) \\ & \widehat{PCN}=\widehat{MBN}\left( gt \right) \\ & NC=BM\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta CPN=\Delta BNM\left( c-g-c \right)\Rightarrow PN=MN\) (2 cạnh tương ứng)

Từ đó suy ra MN = MP = PN. Vậy \(\Delta MNP\) là tam giác đều.

b) Vì O là giao điểm các đường trung trực của tam giác đều ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Suy ra các tia AO, BO, CO lần lượt là đường phân giác của \(\widehat{BAC},\widehat{ABC},\widehat{ACB.}\)

Mặt khác vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều \(\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{CBA}=\widehat{BCA}\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\) (tính chất tia phân giác)

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta BON\) có:

\(\left\{ \begin{align} & AO=BO\left( cmt \right) \\ & \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}\left( cmt \right) \\ & AM=BN\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta AOM=\Delta BON\left( c-g-c \right)\Rightarrow OM=ON\) (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta COP\) có:

\(\left\{ \begin{align} & AO=CO\left( cmt \right) \\ & \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\left( cmt \right) \\ & AM=CP\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta AOM=\Delta COP\left( c-g-c \right)\Rightarrow OM=OP\) (2 cạnh tương ứng)

Từ đó suy ra \(OM=ON=OP\Rightarrow \) O cũng là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta MNP.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link