Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác đó.

Câu hỏi số 229188:

Thông hiểu

Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác đó. Trên tia đối của các tia AB và CA lấy theo thứ tự hai điểm M và N sao cho AM = CN.

a) Chứng minh \(\widehat{OAB}=\widehat{OCA}\) .

b) Gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của OM và ON. Chứng minh OI là tia phân giác của \(\widehat{MON.}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:229188

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất tam giác cân, tính chất 3 đường trung trực của tam giác.

Giải chi tiết

a) Vì O là giao điểm các đường trung trực của tam giác cân ABC nên AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (tính chất tam giác cân)

\(\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\) (tính chất phân giác)

Mặt khác, O là giao điểm các đường trung trực của tam giác cân ABC nên suy ra OA = OC (tính chất 3 đường trung trực của tam giác) \(\Rightarrow \Delta AOC\) cân tại O (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\(\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\) (tính chất tam giác cân)

Do đó \(\Rightarrow \widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\) . Vậy \(\widehat{OAB}=\widehat{OCA.}\)

b) \(\left\{ \begin{align} & \widehat{OAB}+\widehat{OAM}={{180}^{0}} \\ & \widehat{OCA}+\widehat{OCN}={{180}^{0}} \\ \end{align} \right.\) (kề bù)

Mà \(\widehat{OAB}=\widehat{OCA}\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{OCN}\) .

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta CON\) có:

\(\left\{ \begin{align} & AM=CN\left( gt \right) \\ & \widehat{OAM}=\widehat{OCN}\left( cmt \right) \\ & AO=OC\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta AOM=\Delta CON\left( c-g-c \right)\Rightarrow OM=ON\) (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow \Delta MON\) cân tại O. Mà I là giao điểm các đường trung trực của OM và ON nên OI là đường trung trực của MN (tính chất 3 đường trung trực của tam giác).

Vậy OI là phân giác của \(\widehat{MON}\) (tính chất tam giác cân)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link