Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ \sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le {\pi \over 2}

Câu hỏi số 229870:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ \sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le {\pi \over 2} \hfill \cr ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > {\pi \over 2} \hfill \cr} \right.\) liên tục trên R. Khi đó giá trị của a và b là:

A. \(\left\{ \matrix{ a = {2 \over \pi } \hfill \cr b = 1 \hfill \cr} \right.\)

B. \(\left\{ \matrix{ a = {2 \over \pi } \hfill \cr b = 2 \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{ a = {1 \over \pi } \hfill \cr b = 0 \hfill \cr} \right.\)

D. \(\left\{ \matrix{ a = {2 \over \pi } \hfill \cr b = 0 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:229870

Phương pháp giải

+) Hàm đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên các tập xác định của chúng.

+) Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = \pm {\pi \over 2}\)

+) Để hàm số liên tục tại \(x = \pm {\pi \over 2}\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} f\left( x \right) = f\left( {{\pi \over 2}} \right);\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {\pi \over 2}} f\left( x \right) = f\left( { - {\pi \over 2}} \right)\)

Giải chi tiết

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ \sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le {\pi \over 2} \hfill \cr ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > {\pi \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ \sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\, - {\pi \over 2} \le x \le {\pi \over 2} \hfill \cr ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left[ \matrix{ x > {\pi \over 2} \hfill \cr x < - {\pi \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

Ta có hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - {\pi \over 2}} \right) \cup \left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right) \cup \left( {{\pi \over 2}; + \infty } \right)\)

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại các điểm \(x = \pm {\pi \over 2} \Rightarrow \left\{ \matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi \over 2}} f\left( x \right) = f\left( {{\pi \over 2}} \right) \hfill \cr \mathop {\lim }\limits_{x \to - {\pi \over 2}} f\left( x \right) = f\left( { - {\pi \over 2}} \right) \hfill \cr} \right.\)

Ta có

\(\eqalign{ & \left. \matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi \over 2}} \right)}^ + }} \left( {ax + b} \right) = a{\pi \over 2} + b \hfill \cr \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi \over 2}} \right)}^ - }} \left( {\sin x} \right) = \sin {\pi \over 2} = 1 \hfill \cr f\left( {{\pi \over 2}} \right) = \sin {\pi \over 2} = 1 \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( {{\pi \over 2}} \right) \Leftrightarrow a{\pi \over 2} + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr & \left. \matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi \over 2}} \right)}^ + }} \left( {\sin x} \right) = \sin \left( { - {\pi \over 2}} \right) = - 1 \hfill \cr \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi \over 2}} \right)}^ - }} \left( {ax + b} \right) = - a{\pi \over 2} + b \hfill \cr f\left( { - {\pi \over 2}} \right) = \sin {{ - \pi } \over 2} = - 1 \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - {\pi \over 2}} \right) \Leftrightarrow - a{\pi \over 2} + b = - 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ a{\pi \over 2} + b = 1 \hfill \cr - a{\pi \over 2} + b = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = {2 \over \pi } \hfill \cr b = 0 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.