Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(a\,\,(a>0)\)thỏa mãn \({{\left(

Câu hỏi số 231083:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(a\,\,(a>0)\)thỏa mãn \({{\left( {{2}^{a}}+\frac{1}{{{2}^{a}}} \right)}^{2017}}\le {{\left( {{2}^{2017}}+\frac{1}{{{2}^{2017}}} \right)}^{a}}.\)

A. \(0<a<1.\)

B. \(1<a<2017.\)

C. \(a\ge 2017.\)

D. \(0<a\le 2017.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231083

Phương pháp giải

- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\left( {{2^a} + \frac{1}{{{2^a}}}} \right)^{2017}} \le {\left( {{2^{2017}} + \frac{1}{{{2^{2017}}}}} \right)^a},\,\,a > 0\\ \Leftrightarrow 2017\ln \left( {{2^a} + \frac{1}{{{2^a}}}} \right) \le a\ln \left( {{2^{2017}} + \frac{1}{{{2^{2017}}}}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\ln \left( {{2^a} + \frac{1}{{{2^a}}}} \right)}}{a} \le \frac{{\ln \left( {{2^{2017}} + \frac{1}{{{2^{2017}}}}} \right)}}{{2017}}\,\,(*)\end{array}\)

Xét hàm số \(y=f(t)=\frac{\ln \left( {{2}^{t}}+\frac{1}{{{2}^{t}}} \right)}{t},\,t>0\), ta có:

\(\begin{array}{l}y = f(t) = \frac{{\ln \left( {{2^t} + \frac{1}{{{2^t}}}} \right)}}{t} = \frac{{\ln \left( {{2^{2t}} + 1} \right) - t\ln 2}}{t} = \frac{{\ln ({4^t} + 1)}}{t} - \ln 2\\ = > \,f'(t) = \frac{{\frac{{{4^t}.\ln 4}}{{{4^t} + 1}}.t - \ln ({4^t} + 1)}}{{{t^2}}} = \frac{{{4^t}\ln {4^t} - ({4^t} + 1)\ln ({4^t} + 1)}}{{{t^2}({4^t} + 1)}}\end{array}\)

Ta có: \({{4}^{t}}<{{4}^{t}}+1;\ln {{4}^{t}}<\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)\Rightarrow {{4}^{t}}.\ln {{4}^{t}}<\left( {{4}^{t}}+1 \right).\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)\forall t>0\Rightarrow {{4}^{t}}.\ln {{4}^{t}}-\left( {{4}^{t}}+1 \right).\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)<0\forall t>0\)

Nên \(f'\left( t \right)<0,\forall t>0\)

Vậy f(t) là hàm nghịch biến nên theo (*) ta có: \(f\left( a \right)\le f\left( 2017 \right)\Leftrightarrow a\ge 2017\)

Chọn: C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.