Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,\,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau,
Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,\,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau, \(OA=\frac{a\sqrt{2}}{2},OB=OC=a\). Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối tứ diện OABH.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Lập tỉ số thể tích \(\frac{{{V}_{OABH}}}{{{V}_{OABI}}};\,\,\frac{{{V}_{AOBI}}}{{{V}_{OABC}}}\)
- Tính thể tích \({{V}_{OABH}}\)thông qua \({{V}_{OABC}}\).
Gọi I là trung điểm của BC, dựng \(OH\bot AI,H\in AI\).
Tam giác OBC cân tại O \(\Rightarrow OI\bot BC\)
Mà \(AO\bot BC\,(vi\,AO\bot \left( OBC) \right)\)
Suy ra, \(BC\bot (AOI)\Rightarrow BC\bot OH\)
Theo cách dựng, ta có: \(OH\bot AI\Rightarrow OH\bot (ABC)\) (như vậy, điểm H đã dựng thỏa mãn yêu cầu của đề bài).
Tam giác OBC vuông cân tại O \(\Rightarrow OI=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow OI=OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Tam giác OAI vuông cân tại O, \(\Rightarrow \frac{AO}{AI}=\sin {{45}^{0}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{OABH}}}}{{{V_{OABI}}}} = \frac{{AH}}{{AI}} = \frac{{AH.AI}}{{A{I^2}}} = {\left( {\frac{{OA}}{{AI}}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{1}{2}\\\,\frac{{{V_{AOBI}}}}{{{V_{OABC}}}} = \frac{{{S_{OIB}}}}{{{S_{OBC}}}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow {V_{OABH}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.{V_{OABC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{3}OA.\frac{1}{2}OB.OC} \right) = \frac{1}{4}.\left( {\frac{1}{6}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a.a} \right) = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
