Cho \(a,b\) thỏa mãn điều kiện \(a + b \ge 2\). Khi đó, ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn

Câu hỏi số 231371:

Vận dụng

Cho \(a,b\) thỏa mãn điều kiện \(a + b \ge 2\). Khi đó, ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng.

A. \({a^3} + {b^3} \le {a^4} + {b^4}\)

B. \({a^3} + {b^3} < {a^4} + {b^4}\)

C. \({a^3} + {b^3} > {a^4} + {b^4}\)

D. \({a^3} + {b^3} \ge {a^4} + {b^4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231371

Phương pháp giải

Xét hiệu và biến đổi tương đương.

Giải chi tiết

Ta có

\(\eqalign{ & {a^4} + {b^4} - {a^3} - {b^3} \cr & = {a^3}\left( {a - 1} \right) + {b^3}\left( {b - 1} \right) \cr & = \left( {{a^3} - 1} \right)\left( {a - 1} \right) + \left( {{b^3} - 1} \right)(b - 1) + a - 1 + b - 1 \cr & = {\left( {a - 1} \right)^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right) + {\left( {b - 1} \right)^2}\left( {{b^2} + b + 1} \right) + \left( {a + b - 2} \right) \cr} \)

Vì:

\(\eqalign{ & {\left( {a - 1} \right)^2} \ge 0;\,\,{a^2} + a + 1 = {\left( {a + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} > 0 \cr & {\left( {b - 1} \right)^2} \ge 0;\,\,{b^2} + b + 1 = {\left( {b + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} > 0 \cr & a + b - 2 \ge 0 \cr} \)

Nên ta có \({\left( {a - 1} \right)^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right) + {\left( {b - 1} \right)^2}\left( {{b^2} + b + 1} \right) + \left( {a + b - 2} \right) \ge 0\). Suy ra \({a^4} + {b^4} \ge {a^3} + {b^3}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{ a - 1 = 0 \hfill \cr b - 1 = 0 \hfill \cr a + b = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a = b = 1\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.