Cho \(a > b > 0\) và \(x = {{1 + a} \over {1 + a + {a^2}}}\) và\(y = {{1 + b} \over {1 + b + {b^2}}}\). Mệnh

Câu hỏi số 231376:

Vận dụng cao

Cho \(a > b > 0\) và \(x = {{1 + a} \over {1 + a + {a^2}}}\) và\(y = {{1 + b} \over {1 + b + {b^2}}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng.

A. \(x > y\)

B. \(x = y\)

C. \(x < y\)

D. Không so sánh được

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231376

Phương pháp giải

Xét hiệu \(x - y\), quy đồng, đánh giá và xét dấu.

Giải chi tiết

Xét hiệu

\(\begin{array}{l}x - y = \frac{{1 + a}}{{1 + a + {a^2}}} - \frac{{1 + b}}{{1 + b + {b^2}}}\\ = \frac{{1 + b + {b^2} + a + ab + a{b^2} - 1 - a - {a^2} - b - ab - {a^2}b}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\\ = \frac{{{b^2} + a{b^2} - {a^2} - {a^2}b}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\\ = \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) + ab\left( {b - a} \right)}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\\ = \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {a + b + ab} \right)}}{{\left( {1 + a + {a^2}} \right)\left( {1 + b + {b^2}} \right)}}\end{array}\)

Ta có \(a > b > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - a < 0\\a + b + ab > 0\end{array} \right.\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + a + {a^2} = {\left( {a + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\,\,\forall a\\1 + b + {b^2} = {\left( {b + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\,\,\forall b\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow x - y < 0\,\,\,\,\forall a > b > 0 \Leftrightarrow x < y\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10