Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện ≤ a,b,c ≤ 2 Chứng minh:

Trang chủ

Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 23260:

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{2}$ ≤ a,b,c ≤ 2

Chứng minh:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$

A. Click để xem lời giải chi tiết

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:23260

Giải chi tiết

Bất đẳng thức <=> $\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}}\geq \frac{22}{15}$

Đặt $x = \frac{b}{a} , y=\frac{c}{b}, z= \frac{a}{c}$ thì $\frac{1}{4}\leq x,y,z\leq 4$ và xyz = 1

bất đẳng thức trở thành :

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{22}{15}$

Không giảm tổng quát, giả sử z nhỏ nhất suy ra xy ≥1 . Theo câu a:

$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+z}=\frac{2}{1+\frac{1}{\sqrt{z}}}+\frac{1}{1+z}=\frac{2t}{t+1}+\frac{1}{t^{2}+1}$

$t = \sqrt{z}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{2t}{t+1}+\frac{1}{t^{2}+1}\geq \frac{22}{15}$ với $\frac{1}{2}\leq t\leq 2$

Bằng biến đổi tương đương bất đẳng thức:

<=> 8t³ - 22t² +23t – 7 ≥ 0

<=> (2t - 1)(4t² – 9t + 7) ≥0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng do $t\geq \frac{1}{2}$ và (4t² – 9t + 7) ≥0 với mọi t

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link